Die Wellengleichung - mathematische Beschreibung linearer Wellen

Unter einer linearen Welle versteht man eine Welle, die sich nur in eine Raumrichtung ausbreitet. Eine lineare Welle hat einen eindimensionalen Wellenträger, wie ein Seil oder eine Feder. Betrachtet man nur eine Ausbreitungsrichtung, lassen sich aber auch andere Wellen, z.B. Wasserwellen, wie lineare Wellen beschreiben.

In vielen Fällen werden die angeregten Teilchen bzw. jeder Punkt auf dem Wellenträger zu einer Sinusschwingung angeregt. Die daraufhin entstehende Welle wird als harmonische Welle bezeichnet.

Bei einer Welle ändert sich die Auslenkung mit der Zeit und mit dem Ort

Um eine lineare harmonische Welle mathematisch zu beschreiben, müssen sowohl zeitliche als auch örtliche Änderung der Auslenkung erfasst werden.

Betrachten wir zunächst die Änderung der Auslenkung an einem bestimmten Ort x=0.

Dies entspricht einer harmonischen Schwingung, für die gilt:

y(t)=y_{max}\cdot sin \, \omega t            Schwingungsgleichung für einen harmonische Oszillator

An einem anderen Ort unterscheidet sich der Schwingungszustand gegenüber dem Ort x=0:

Um vom Ort x=0 zu einem anderen Ort x zu gelangen, benötigt ein bestimmter Schwingungszustand eine bestimmte Zeitspanne \Delta t (von  x=0  bis  x=\lambda  entspricht diese Zeitspanne der Periodendauer\Delta t=T).

Mit  c=\lambda f     bzw.     c=\dfrac {\lambda}{T}     sowie     T=\Delta t   und   \lambda=x  gilt:

c=\dfrac {x}{\Delta t}        und damit        \Delta t=\dfrac {x}{c}

Mit   c=\dfrac {\lambda}{T}   folgt daraus:   \Delta t=x\cdot \dfrac {T}{\lambda}   (1)

Schwingungsgleichung für einen anderen Ort x

Am Ort x schwingt der Oszillator gegenüber dem Ursprung (x=0) um die Zeitspanne \Delta t verzögert.

Damit lautet die Schwingungsgleichung:

y(x,t)=y_{max}\cdot sin\, \omega (t-\Delta t)        bzw.        y(x,t)=y_{max}\cdot sin \dfrac {2 \pi}{T} (t-\Delta t)

Setzt man nun T in die Klammer, ergibt sich:

y(x,t)=y_{max}\cdot sin \, 2\pi \left(\dfrac {t}{T}-\dfrac {\Delta t}{T}\right).

Nun ersetzen wir noch \Delta t mit x\cdot \dfrac {T}{\lambda}  (1) (s.o.) und erhalten so schließlich die eindimensionale Wellengleichung einer fortschreitenden Sinuswelle:

y(x,t)=y_{max}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda}\right) \right]            Wellengleichung für harmonische Wellen

Diese Wellengleichung enthält die Abhängigkeit des Schwingungszustandes eines Oszillators auf dem Wellenträger

  • von der Zeit
  • vom Ort (Abstand zum Erreger)

Die Wellengleichung in der obigen Form beschreibt eine sich nach rechts (in Richtung positiver x-Achse) ausbreitende Sinuswelle. Für eine sich nach links ausbreitende Sinuswelle ändert sich das Vorzeichen in der Klammer.

Wellengleichung für harmonische Wellen

Die Auslenkung einer Welle hängt sowohl von der Zeit t als auch vom Ort x ab.

Für die Auslenkung einer linearen harmonischen Welle gilt:

y(x,t)=y_{max}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda}\right) \right]

(Wellengleichung für eine sich nach rechts (in Richtung positiver x-Achse) ausbreitende Sinuswelle)

bzw.

y(x,t)=y_{max}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {t}{T}+\dfrac {x}{\lambda}\right) \right]

(Wellengleichung für eine sich nach links (in Richtung negativer x-Achse) ausbreitende Sinuswelle)

Anwendungsbeispiel zur Wellengleichung

Wir wollen nun mit Hilfe der Wellengleichung die Elongation an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit berechnen.

Aufgabe:

Welche Elongation hat ein Teilchen auf einem Wellenträger zur Zeit t = 12s, welches vom Erreger 45cm weit entfernt ist, wenn die Erregerfrequenz f = 0,4Hz und die Wellenlänge λ = 60cm beträgt?

Zur Zeit t = 0 sei die Elongation Null, die Erregeramplitude betrage 10cm.

Lösung:

Folgende Größen sind gegeben:

Zeitt=12s        Ortx=45cm        Frequenzf=0,4Hz

Aus der Frequenz ergibt sich die PeriodendauerT=\dfrac {1}{f}=2,5s

Wellenlänge\lambda =60cm        Amplitudey_{max}=10cm

Berechnung der Elongation:

Die Wellengleichung lautet:        y(x,t)=y_{max}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {t}{T}-\dfrac {x}{\lambda}\right) \right]

Wir setzen die gegebenen Werte ein und erhalten

y(45cm,12s)=10cm\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {12s}{2,5s}-\dfrac {45cm}{60cm}\right) \right]=3,1cm

Ergebnis:

Die Elongation am Ort x = 45cm zur Zeit t = 12s beträgt y = 3,1cm.

Hinweis: Die Umrechnung der Strecken in die Einheit Meter ist nicht notwendig, wäre aber natürlich auch nicht falsch.

In der Klammer kürzen sich alle Einheiten weg, es bleibt am Ende die Einheit übrig, die für die Amplitude verwendet wird.