Wie bestimmt man die spezifische Wärmekapazität von Festkörpern?

Um die spezifische Wärmekapazität von Festkörpern zu bestimmen, müssen wir ein wenig anders vorgehen als bei Flüssigkeiten. Schließlich lassen sich Festkörper nicht mit einem Tauchsieder erhitzen, und auch das Messen ihrer Temperatur ist nicht so einfach möglich.

Doch auch dabei können wir Wasser zur Hilfe nehmen:

Idee / Vorgehensweise:

  • Wir erhitzen einen Probekörper in einem Wasserbad. Der Probekörper nimmt die Temperatur des Wassers an, so dass wir nur die Wassertemperatur messen müssen.
  • Der erhitzte Probekörper wird (schnell) in ein Gefäß mit kaltem Wasser gegeben. Der Probekörper gibt dann Wärme an das kalte Wasser ab, bis Wasser und Probekörper eine gemeinsame Mischtemperatur haben.
  • Sind Masse und Temperatur des kalten Wassers bekannt, lässt sich mit Hilfe der (bekannten) spezifischen Wärmekapazität des Wassers die vom Probekörper abgegebene Wärmemenge berechnen.

Wie berechnet man die Mischtemperatur?

Um aus der Mischtemperatur auf die abgegebene Wärmemenge zu schließen, überlegen wir uns zunächst, wie beide Größen zusammenhängen und wie man die Mischtemperatur berechnet. Dazu ein einfaches Beispiel, zunächst nur mit Wasser:

Beispiel:

Zu 50 l heißem Badewasser (\vartheta=60^{\circ}C) werden 100 l kaltes Wasser (\vartheta=15^{\circ}C) hinzugefügt. Welche Mischtemperatur stellt sich ein?

Ansatz:

Die Wärme, die das kalte Wasser aufnimmt (Q_{auf}), ist genauso groß wie die Energie, die das warme Wasser abgibt (Q_{ab}):

Q_{auf}=Q_{ab}

Die Wärme lässt sich jeweils mit Hilfe der Grundgleichung der Wärmelehre ermitteln:

Q=c\cdot m\cdot \Delta \vartheta

Allgemein gilt damit für die abgegebene und aufgenommene Wärme

c_{1}\cdot m_{1}\cdot \Delta \vartheta_{1}=c_{2}\cdot m_{2}\cdot \Delta \vartheta_{2}

In diesem Beispiel gilt für die Temperaturdifferenzen:

\Delta \vartheta_{1}=\vartheta_{Misch}-15^{\circ}C     und     \Delta \vartheta_{2}=60^{\circ}C-\vartheta_{Misch}

Da es sich auf beiden Seiten um Wasser handelt, ist c_{1}=c_{2}=c_{Wasser}.

Die Masse in kg entspricht bei Wasser jeweils dem Volumen in l, also ist m_{1}=50kg und m_{2}=100kg

Damit gilt:

c_{Wasser}\cdot 100kg\cdot \left(\vartheta_{Misch}-15^{\circ}C\right)=c_{Wasser}\cdot 50kg\cdot \left(60^{\circ}C-\vartheta_{Misch}\right)

Die spezifische Wärmekapazität für Wasser lässt sich kürzen. Außerdem teilen wir die Gleichung durch 50kg und erhalten

2\cdot \left(\vartheta_{Misch}-15^{\circ}C\right)=60^{\circ}C-\vartheta_{Misch}

Wir lösen die Klammer auf der linken Seite auf und stellen die Gleichung anschließend zur gesuchten Mischtemperatur \vartheta_{Misch} um:

2\vartheta_{Misch}-30^{\circ}C=60^{\circ}C-\vartheta_{Misch}        | +30^{\circ}C  |  +\vartheta_{Misch}

3\vartheta_{Misch}=90^{\circ}C        | :3

\vartheta_{Misch}=30^{\circ}C

Ergebnis: Die Mischtemperatur beträgt 30°C.

Das Ergebnis hätte man aus dem Verhältnis der beiden Massen auch einfacher erhalten können. Der hier gezeigte Ansatz hilft uns aber, die Berechnung auf unser Beispiel mit verschiedenen Stoffen zu übertragen.

Versuch zur Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität verschiedener Probekörper

Ein in kochendem Wasser auf ca. 100°C erhitzter Probekörper wird in das kalte Wasser gegeben. Nach kurzer Zeit wird die Mischtemperatur \vartheta_{Misch} abgelesen.

Zu messende Größen:

m_{W}  (Masse des kalten Wassers)

\vartheta_{W}  (Temperatur des kalten Wassers)

m_{K}  (Masse des Körpers)

\vartheta_{K}  (etwa 100°C - Temperatur des heißen Körpers)

\vartheta_{Misch}  (Mischtemperatur)

Berechnung der spezifischen Wärmekapazität des Probekörpers

Ansatz:  Es gilt der gleich Zusammenhang wie oben:

Die Wärme, die das (kalte) Wasser aufnimmt (Q_{auf}), ist genauso groß wie die Wärme, die der heiße Probekörper abgibt (Q_{ab}):

Q_{auf}=Q_{ab}

und damit

c_{W}\cdot m_{W}\cdot \Delta \vartheta_{W}=c_{K}\cdot m_{K}\cdot \Delta \vartheta_{K}

Für die Temperaturänderung des Probekörpers \Delta \vartheta_{K} gilt:

\Delta \vartheta_{K}=\vartheta_{K}-\vartheta_{Misch}

Die Temperaturänderung des (kalten) Wassers \Delta \vartheta_{Wasser} beträgt

\Delta \vartheta_{W}=\vartheta_{Misch}-\vartheta_{W}

Damit ergibt sich:

c_{W}\cdot m_{W}\cdot \left(\vartheta_{Misch}-\vartheta_{W}\right)=c_{K}\cdot m_{K}\cdot \left(\vartheta_{K}-\vartheta_{Misch}\right)

Diese Gleichung muss nun nach c_{K} umgeformt werden.

Dadurch erhält man:            c_{K}=\dfrac {c_{W}\cdot m_{W}\cdot \left(\vartheta_{Misch}-\vartheta_{W}\right)}{m_{K}\cdot\left(\vartheta_{K}-\vartheta_{Misch}\right)}

Alle Größen auf der rechten Seite wurden gemessen - damit kann die spezifische Wärmekapazität des Probekörpers berechnet werden.

Beispielrechnung:

Für einen Probekörper aus Aluminium wurden folgende Werte gemessen:

m_{W}=160g

\vartheta_{W}=20,4^{\circ}C

m_{K}=58g

\vartheta_{K}=98^{\circ}C

\vartheta_{Misch}=25,7^{\circ}C

Wir setzen alle Werte in die nach c_{K} umgestellte Formel (s.o.) ein:

c_{K}=\dfrac {4,19\frac {J}{gK}\cdot 160g\cdot \left(25,7^{\circ}C-20,4^{\circ}C\right)}{58g\cdot\left(98^{\circ}C-25,7^{\circ}C\right)}=0,85\frac {J}{gK}

Ergebnis: Die spezifische Wärmekapazität des Probekörpers beträgt c=0,85\frac {J}{gK}.

Hinweis:

Der Literaturwert für die spezifische Wärmekapazität von Aluminium beträgt c_{Al}=0,89\frac {J}{gK}.

Übersicht über die spezifische Wärmekapazität verschiedener Stoffe:

Stoff c in \dfrac {J}{gK}
Blei 0,13
Gold 0,13
Kupfer 0,38
Messing 0,38
Eisen 0,45
Stahl 0,42 - 0,50
Glas 0,80
Sand 0,84
Beton 0,84
Aluminium 0,89
Luft 1,01
Kunststoff (PVC) 1,3 - 2,1
Holz ca. 1,5
Spiritus 2,43
Wasser 4,18
Wasserstoff 14,32

Anhand der Werte in der Tabelle lässt sich erkennen:

Wasser hat eine sehr hohe spezifische Wärmekapazität!

Dies spielt in unserem Leben eine bedeutende Rolle - schließlich ist 2/3 unseres Planeten mit Wasser bedeckt. Und schließlich bestehen wir selbst zu einem großen Teil aus Wasser.