Der Compton-Effekt

Haben Photonen eine Masse?

Der sog. Compton-Effekt beruht auf der Tatsache, dass man auch Photonen eine Masse und einen Impuls zuschreiben kann.

Nach Einstein und der Formel E = mc² gilt für den Zusammenhang zwischen der Energie eines Photons E = hf und seiner trägen Masse:

$E=hf=mc^{2}$

Damit gilt für die Masse eines Photons

$m_{Photon}=\dfrac {hf}{c^{2}}=\dfrac {h}{c\lambda}$

Ein Photon bewegt sich immer konstant mit der Lichtgeschwindigkeit c.

Demnach beträgt sein Impuls p (p = m·v)

$p_{Photon}=\dfrac {E}{c}=\dfrac {h}{\lambda}$

Um 1922 untersuchte Arthur Holly Compton die Streuung von Röntgenstrahlen an Graphit und anderen leichten Elementen, d.h. an Elementen, bei denen die Elektronen schwach gebunden sind. Er beobachtete bei der Streuung von Röntgenstrahlen eine Wellenlängenverschiebung.

A. H. Compton erhielt 1927 für diese Entdeckung den Nobelpreis für Physik.

Während beim Fotoeffekt die gesamte Energie eines Photons von einem Elektron aufgenommen wird, gibt es Versuche, bei denen nur ein Teil der Energie von Photonen auf Elektronen übertragen wird:

Bei der Streuung von Röntgenstrahlen (Röntgenphotonen haben eine wesentlich größere Energie als die Ablösearbeit beim Fotoeffekt) an quasi freien Elektronen (z.B. in Graphit) entsteht neben spektral unveränderter Streustrahlung noch eine spektral verschobene Komponente mit vergrößerter Wellenlänge abhängig vom Streuwinkel:

Ein Röntgenphoton mit der Wellenlänge λ trifft auf ein freies Elektron

Durch den Stoß wird das Elektron weggestoßen, das Röntgenphoton wird gestreut.

Dabei vergrößert sich die Wellenlänge des Photons.

Dieser Effekt wird als Compton-Effekt bezeichnet.

Dabei hängt die Wellenlängenänderung vom Streuwinkel β ab.

Klassische Berechnungen führen zum richtigen Ergebnis

1923 gelang es Compton, diesen Effekt mit Hilfe der Vorstellung von „Lichtteilchen“ zu erklären, die wie die Kugeln beim Billardspielen auf die Elektronen nach den Stoßgesetzen des elastischen Stoßes aufeinanderprallen:

Ein Röntgenphoton mit der Energie hf prallt auf ein Elektron (mit der Masse m₀) des Streumaterials, ändert dabei seine Richtung und überträgt einen Teil seiner Energie auf das Elektron.

Danach fliegt das Photon mit weniger Energie hf’ in eine andere Richtung weiter.

Compton ordnete den Photonen neben einer Energie einen Impuls zu und behandelte den Stoß zwischen Photonen und Elektronen wie den zweier Billardkugeln.

Der Photonenimpuls (s.o.) beträgt nach p = mv und der Einsteinschen Beziehung E = mc² sowie der Photonenenergie E_Photen = hf:

$p_{Photon}=\dfrac {mc^{2}}{c}=\dfrac {E}{c}=\dfrac {hf}{c}=\dfrac {h}{\lambda}$

Damit lässt sich dem Photon auch eine Masse zuordnen. Sie beträgt

$m_{Photon}=\dfrac {hf}{c^{2}}=\dfrac {h}{c \lambda}$

Da sich Photonen stets mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, kann man ihnen keine Ruhemasse zuordnen, sondern nur relativistische Masse und Impuls.

Masse und Impuls von Photonen

Photonen der Wellenlänge λ haben keine Ruhemasse aber

relativistische Masse und Impuls.

Für relativistische Masse und Impuls von Photonen gilt:

$m_{Photon}=\dfrac {hf}{c^{2}}=\dfrac {h}{c \lambda}$

und

$p_{Photon}=\dfrac {E}{c}=\dfrac {h}{\lambda}$

Der Photonenimpuls macht sich als Strahlungsdruck bemerkbar und ist auch für den Sonnenwind verantwortlich.

Der Strahlungsdruck des Sonnenwindes ist dafür verantwortlich, dass der Schweif von Kometen stets von der Sonne weggerichtet ist.

Obwohl es sich bei Photonen nicht um Teilchen im klassischen Sinne handelt, lässt sich die Energie- und Impulsänderung der Photonen mit den klassischen Formeln für Impuls- und Energieerhaltung berechnen, als würde es sich um Billardkugeln handeln, die elastisch aufeinander stoßen.

Auf diese Weise ergibt sich in Übereinstimmung mit Messungen für die Wellenlängenänderung:

$\Delta \lambda=\lambda'-\lambda=\dfrac {h}{m_{e}\cdot c}\cdot (1-cos \beta)$

Hinweis:

Wegen der großen Geschwindigkeit der Elektronen nach dem Stoß muss die Rechnung relativistisch durchgeführt werden.

Wie man mit relativistischen Energien und Geschwindigkeiten rechnet, wird im Kapitel Relativistische Dynamik (→ Relativitätstheorie) erklärt.

Eine vollständige Herleitung der Formel zur Wellenlängerenänderung beim Compton-Effekt findest Du weiter unten.

Der Compton-Effekt

Stoßen Photonen auf freie Elektronen, haben die gestreuten Photonen eine kleinere Frequenz und damit eine größere Wellenlänge.

Dieser Effekt heißt Compton-Effekt.

Für die Wellenlängenänderung gilt (in Abhängigkeit vom Streuwinkel):

$\Delta \lambda=\lambda'-\lambda=\dfrac {h}{m_{e}\cdot c}\cdot (1-cos \beta)$

Aus der Formel für die Wellenlängenänderung ergibt sich:

Die Wellenlängenänderung hängt nicht von der Wellenlänge λ ab, sondern nur vom Streuwinkel.

Für den Streuwinkel β = 90° (Photon senkrecht zur ursprünglichen Richtung) beträgt die Wellenlängenzunahme unabhängig von der ursprünglichen Wellenlänge

$\Delta \lambda=\dfrac {h}{m_{e}\cdot c}=2,426\, pm$

Diese Konstante wird als Compton-Wellenlänge λ_c bezeichnet.

Damit lässt sich die Gleichung für die Wellenlängenänderung auch schreiben als

$\Delta \lambda=\lambda_{c}\cdot (1-cos\beta)$

Die größtmögliche Wellenlängenzunahme ergibt sich, wenn das Photon rückwärtig gestreut wird (β = 180°).

Dann ergibt sich eine Wellenlängenänderung von $\Delta \lambda=2\cdot \lambda_{c}=4,85\, pm$ .

Die Compton-Wellenlänge und damit auch die maximal mögliche Wellenlängenänderung liegen in der Größenordnung der Wellenlängen von Röntgenstrahlen und damit etwa um den Faktor 10.000 kleiner als die Wellenlängen von sichtbarem Licht.

Aus diesem Grund kann der Comptoneffekt nicht bei sichtbarem Licht beobachtet werden – eine derart kleine Wellenlängenänderung würde bei der Wellenlänge von sichtbarem Licht nicht auffallen.

Herleitung der Formel zur Wellenlängenänderung beim Compton-Effekt

Die Herleitung der o.g. Formel ist recht aufwändig, da man leicht den Überblick verliert.

Wie oben bereits erwähnt, muss aufgrund der hohen Geschwindigkeiten der Elektronen nach dem Stoß mit relativistischen Energien und Impulsen gerechnet werden.

(→ s. Kapitel Relativistische Dynamik)

Für die Ruheenergie eines Teilchens gilt:

$E_{0}=m_{0}c^{2}$ mit $m_{0}$ = Ruhemasse

Die Gesamtenergie eines bewegten Objektes ergibt sich aus der Summe der Ruheenergie und der kinetischen Energie:

$E=E_{0}+E_{kin}=mc^{2}$ wobei $m$ hier die relativistische Masse ist.

Für die relativistische kinetische Energie gilt

$E_{kin}=(m-m_{0})c^{2}$ bzw. $E_{kin}=m_{0}c^{2} \cdot \left( \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}-1\right)$

und damit für die relativistische Gesamtenergie

$E_{ges}=m_{0}c^{2} \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}$ mit $m_{0}c^{2}=E_{0}$ (Ruheenergie, s.o.)

Der relativistische Impuls lässt sich schreiben als:

$p=m_{0}v\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Für den elastischen Stoß gilt

1) Energieerhaltung: $E_{Ph}+E_{0,e}=E'_{Ph}+E_{e}$

2) Impulserhaltung: $\overrightarrow{p}_{Ph}=\overrightarrow{p}'_{Ph}+\overrightarrow{p}_{e}$

Hinweis:

Energien und Impulse für Photon (Index “Ph”) und Elektron (Index “e”) nach dem Stoß sind jeweils mit einem Strich (‘) gekennzeichnet.

Für die Energie eines Photons gilt $E_{Ph}=hf$ . Damit ergibt sich für die Energieerhaltung

$hf+m_{0,e}c^{2}=hf'+E_{e}$

bzw. nach $E_{e}$ umgestellt

$E_{e}=hf-hf'+m_{0,e}c^{2}$ (1)

Der Betrag des Impulses des Elektrons nach dem Stoß $p_{e}$ lässt sich mit dem Kosinussatz berechnen. Damit ergibt sich:

$p_{e}^{2}=p_{Ph}^{2}+p_{Ph}'^{2}-2p_{Ph}\cdot p'_{Ph} \cdot cos \beta$ (2)

Beziehung zwischen Energie und Impuls:

Aus dem relativistischen Impuls für Photonen $p_{Photon}=\dfrac {E}{c}$ ergibt sich für die Energie die Beziehung $E=pc$ .

Teilt man den relativistischen Impuls durch die relativistische (Gesamt-) Energie (s.o.), so erhält man

$\dfrac {p}{E}=\dfrac {v}{c^{2}}$ und damit für die Geschwindigkeit $v=\dfrac {pc^{2}}{E}$

Damit lässt sich in der Formel für die relativistische Gesamtenergie die Geschwindigkeit $v$ ersetzen.

So erhält man:

$E=m_{0}c^{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}}}$ | $(\,)^{2}$

Quadrieren führt zu

$E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}}$ | $\cdot \left(1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}\right)$

Multiplikation mit dem Nenner auf der rechten Seite und Ausmultiplizieren der Klammer führt schließlich zur Energie-Impuls-Beziehung:

$E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}=E_{0}^{2}$ und damit für Elektronen $E_{e}^{2}-p_{e}^{2}c^{2}=m_{0,e}^{2}c^{4}$ (3)

Das Ziel ist nun, die Energie $E'_{e}$ sowie den Impuls $p'_{e}$ des Elektrons nach dem Stoß, an denen man nicht interessiert ist, zu eliminieren.

Dazu setzen wir für die Energie des Elektrons den Ausruck aus Gleichung (1) und für den Impuls des Elektrons den Ausdruck aus Gleichung (2) in die eben aufgestellte Gleichung (3) ein:

$\left( hf-hf'+m_{0,e}c^{2} \right)^{2}-\left( \left(\dfrac {hf}{c}\right)^{2}+\left(\dfrac {hf'}{c}\right)^{2}-2\dfrac {hf}{c}\cdot \dfrac {hf'}{c}\cdot cos \beta\right)\cdot c^{2}=m_{o,e}^{2}c^{4}$

Durch Kürzen von $c^{2}$ ergibt sich

$\left( hf-hf'+m_{0,e}c^{2} \right)^{2}-(hf)^{2}-(hf')^{2}+2h^{2}ff'\cdot cos \beta=m_{0,e}^{2}c^{4}$

Ausmultiplizieren der ersten Klammer ergibt:

$(hf-hf'+m_{0,e}c^{2})\cdot (hf-hf'+m_{0,e}c^{2})$

$=h^{2}f^{2}-h^{2}ff'+hfm_{0,e}c^{2}-h^{2}ff'+h^{2}f'^{2}-hf'm_{0,e}c^{2}+hfm_{0,e}c^{2}-hf'm_{0,e}c^{2}+m_{0,e}^{2}c^{4}$

Dies wird nun wieder in die obige Gleichung eingesetzt, wobei auch die anderen Klammern ausmultipliziert werden:

$h^{2}f^{2}-h^{2}ff'+hfm_{0,e}c^{2}-h^{2}ff'+h^{2}f'^{2}-hf'm_{0,e}c^{2}+hfm_{0,e}c^{2}-hf'm_{0,e}c^{2}+m_{0,e}^{2}c^{4}-h^{2}f^{2}-h^{2}f'^{2}+2h^{2}ff'\cdot cos \beta=m_{0,e}^{2}c^{4}$

Hier lässt sich einiges kürzen. Dadurch erhält man

$-2h^{2}ff'+2hfm_{0,e}c^{2}-2hf'm_{0,e}c^{2}+2h^{2}ff'\cdot cos \beta=0$

Weiterhin lässt sich hier der Faktor $2h$ kürzen. Dadurch und durch Änderung der Reihenfolge der Terme erhält man schließlich

$fm_{0,e}c^{2}-f'm_{0,e}c^{2}-hff'+hff'\cdot cos \beta=0$

Nun bringen wir die beiden rechten Summanden auf die rechte Seite und klammern anschließend links $(f-f')$ sowie rechts $(1-cos \beta)$ aus:

$m_{0,e}c^{2}(f-f')=hff'(1-cos \beta)$ | : $m_{0,e}c^{2}$ | : $ff'$

$\dfrac {f-f'}{ff'}=\dfrac {h}{m_{0,e}c^{2}}\cdot (1-cos \beta)$

Wir teilen den linken Bruch auf und erhalten:

$\dfrac {1}{f'}-\dfrac {1}{f}=\dfrac {h}{m_{0,e}c^{2}}\cdot (1-cos \beta)$

Nun ersetzen wir die Frequenz durch den Ausdruck $f=\dfrac {c}{\lambda}$ :

$\dfrac {\lambda '}{c}-\dfrac {\lambda}{c}=\dfrac {h}{m_{0,e}c^{2}}\cdot (1-cos \beta)$

Als letztes kürzen wir durch die Lichtgeschwindigkeit $c$ und erhalten so die endgültige Formel für die Wellenlängenänderung durch den Compton-Effekt:

$\lambda '-\lambda=\dfrac {h}{m_{0,e}c}\cdot (1-cos \beta)=\Delta \lambda$

weiter mit Materiewellen - De Broglie-Beziehung

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