Feldstärke und Kraftwirkung im Radialfeld

Homogene Felder zeichnen sich dadurch aus, dass die Feldstärke überall gleich groß ist. Es gibt jedoch auch Feldformen, in denen dies nicht der Fall ist. Ein solches Feld kennen wir schon, nämlich das Feld um eine punktförmige Ladung bzw. um eine geladene Kugel herum:

 

Radialfeld

Ein solches Feld bezeichnet man als Radialfeld.

Letztendlich kann man sich alle anderen Feldlinienbilder aus Radialfeldern zusammengesetzt vorstellen.

Die Feldstärke im Radialfeld lässt sich aus der Dichte der Feldlinien ableiten.

Offensichtlich gilt im Radialfeld:

Die Feldstärke nimmt im Radialfeld mit zunehmendem Abstand ab.

Folgende Fragen sollen nun geklärt werden:

  • Wie hängt die elektrische Feldstärke vom Abstand zur Ladung bzw. vom Abstand zum Kugelmittelpunkt einer geladenen Kugel ab?
  • Hängt die elektrische Feldstärke an einem bestimmten Ort von der Kugeloberfläche bzw. vom Kugelradius ab? (Anders gefragt: Macht es einen Unterschied, wie groß die Kugel bei gleicher Ladung q ist?)

Das Coulomb'sche Gesetz

Um die o.g. Fragen zu klären, wird folgender Versuch durchgeführt:

Versuch:

In die Nähe einer geladenen Metallkugel wird ein Probekörper mit einer kleinen Ladung q gebracht, der im elektrischen Feld ausgelenkt wird. Die Auslenkung hängt dabei von der Feldstärke ab.

(Wenn man die Feldstärke durch Veränderung der Ladung Q auf der Kugel ändert, so ändert sich auch die Auslenkung.)

Um die geladene Kugel werden zwei Halbkugelschalen mit dem Radius r gelegt.

Beobachtung:

Die Auslenkung des Probekörpers ändert sich nicht. Das bedeutet, dass sich die Feldstarke am Ort der Probeladung nicht verändert hat.

Durch Influenz kommt es auf den Kugelschalen zur Ladungstrennung:

Coulombsches Gesetz

 

Die durch Influenz hervorgerufene Ladung ist genau so groß wie die Ladung der Kugel.

Die elektrische Feldstärke um die Kugel herum bleibt also gleich. Sie hängt nicht vom Kugelradius ab sondern nur vom Abstand zum Kugelmittelpunkt.

Erklärung:

Die Ladungsmenge Q verteilt sich auf eine größere Fläche. Bei größerem Abstand ist damit der Quotient aus Ladung und Fläche \dfrac {Ladung}{Flaeche} kleiner.

Dieser Quotient wird als Flächenladungsdichte σ (Sigma) bezeichnet.

Flächenladungsdichte     \sigma =\dfrac {Q}{A}

Die Fläche A einer Kugel beträgt A=4\pi r^{2}.

Damit gilt für die Flächenladungsdichte:

\sigma =\dfrac {Q}{4\pi r^{2}}    (1)

Aus   C=\dfrac {Q}{U}     und     C=\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\dfrac {A}{d}     folgt (ohne εr):

\dfrac {Q}{U}=\varepsilon _{0}\cdot \dfrac {A}{d}        \vert :A     \vert \cdot U

\dfrac {Q}{A}=\varepsilon _{0}\cdot \dfrac {U}{d}

Dabei entspricht der Quotient \dfrac {Q}{A} der Flächenladungsdichte σ (s.o.) und \dfrac {U}{d} der elektrischen Feldstärke E.

Hinweis:

Streng genommen gilt das zwar nur im homogenen Feld, aber in einem sehr kleinen Bereich um die Ladung herum kann man die Feldstärke als homogen ansehen.

Es gilt also:

\sigma =\varepsilon _{0}\cdot E    (2)    Flächenladungsdichte im homogenen Feld

Aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:

\dfrac {Q}{4\pi r^{2}}=\varepsilon _{0}\cdot E        und damit        E=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q}{r^{2}}

Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang für die elektrische Feldstärke gefunden.

Die elektrische Feldstärke um eine geladene Kugel herum hängt also ab von:

    • Abstand r zum Kugelmittelpunkt
    • Ladung Q auf der Kugel

Dass der Radius quadratisch im Nenner steht, bedeutet:

Die Feldstärke verkleinert sich mit dem Quadrat des Abstandes.

Verdoppelt sich also der Abstand zum Kugelmittelpunkt der geladenen Kugel, so verkleinert sich die elektrische Feldstärke um den Faktor 4.

Bei Halbierung des Abstandes vervierfacht sich die Feldstärke.

Feldstärke im Radialfeld

Die Feldstärke in einem Radialfeld lässt sich berechnen mit:

E=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q}{r^{2}}

Dabei entspricht r dem Abstand zum Kugelmittelpunkt.

Welche Kraft wirkt auf einen geladenen Körper im Radialfeld?

Die Kraft auf einen geladenen Körper bzw. auf eine Probeladung hängt von der Feldstärke und außerdem von der Probeladung selbst ab.

Für die Kraft auf eine Probeldaung q in einem elektrischen Feld gilt:  F=E\cdot q.

Um die Kraft zu berechnen, muss man also nur die elektrische Feldstärke mit der Probeladung q multiplizieren. Mit der oben hergeleiteten Formel für die elektrische Feldstärke ergibt sich für die Kraft im Radialfeld:

F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q\cdot q}{r^{2}}

Dieser Zusammenhang wird als Coulomb'sches Gesetz bezeichnet.

Coulomb'sches Gesetz

Befindet sich in einem Radialfeld mit der felderzeugenden Ladung Q ein geladener Körper mit der Ladung q, dann beträgt die Feldkraft auf diesen geladenen Körper:

F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q\cdot {q}}{r^{2}}

Die Kraft auf den geladenen Körper kann je nach Vorzeichen der Ladungen entweder anziehend oder abstoßend sein.

Dabei ist es im Grunde egal, welche Ladung als Q und welche als q bezeichnet wird. Beide Ladungen können auch gleich groß sein und sind völlig gleichberechtigt. Bei der Kraft handelt es sich schließlich um eine Wechselwirkung zwischen beiden Ladungen.

So kann man die beiden Ladungen auch mit Q1 und Q2 bezeichnen und allgemein schreiben:

F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q_{1}\cdot {Q_{2}}}{r^{2}}

Dieses Gesetz wurde im Jahr 1785 von Charles Augustin Coulomb durch Versuche mit einer Torsionswaage gefunden.

Info:

Das Coulomb'sche Gesetz hat die gleiche Form wie das Newtonsche Gravitationsgesetz. Dieses beschreibt die Kraft zwischen Massekörpern.

Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet:

F=G\cdot \dfrac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}

Das Gravitationsgesetz beschreibt analog zum Coulombschen Gesetz die Kraft, mit der sich zwei Massen m1 und m2 mit dem Abstand r ihrer Massenmittelpunkte gegenseitig anziehen. Die Gravitationskonstante G entspricht in dieser Formel der elektrischen Feldkonstanten ε0.

Der Literaturwert für die Gravitationskonstante beträgt

G=6,67408\cdot 10^{-11}\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}.

Beispielaufgaben zum Coulombschen Gesetz

Aufgabe 1:

Zwei Kugeln haben die gleiche Ladung Q [1μC].

Wie groß ist die Feldstärke E an ihrer Oberfläche, wenn r1 = 5cm und r2 = 10cm?

Lösung:

Für die elektrische Feldstärke gilt

E=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon_ {0}}\cdot \dfrac {Q}{r^{2}}

Setzt man die Werte für Kugel 1 ein, ergibt sich

E_{1}=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon_ {0}}\cdot \dfrac {10^{-6}C}{(0,05m)^{2}}=3.595.097\frac {V}{m}

Da die Kugel 2 den doppelten Radius hat, ist die Feldstärke an ihrer Oberfläche also um den Faktor 4 kleiner als bei Kugel 1 und beträgt demnach

E_{2}=898.774\frac {V}{m}.

Aufgabe 2:

Zwei gleich geladene Kugeln mit der Ladung Q1 = Q2 = 0,05μC befinden sich im Abstand von 10cm voneinander (Abstand ihrer Mittelpunkte).

Wie groß ist die Kraft zwischen beiden Kugeln?

Lösung:

Für die Kraft gilt:

F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q_{1}\cdot {Q_{2}}}{r^{2}}

Da beide Ladungen gleich sind, kann man schreiben:

F=\dfrac {1}{4\pi\varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {Q^{2}}{r^{2}}

Werte einsetzen:

F=\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\cdot \dfrac {\left( 5\cdot 10^{-8}C\right) ^{2}}{\left( 0,1m\right) ^{2}}=2,25\cdot {10^{-3}}N

Weitere Aufgaben:

Metzler Physik SII (3. Auflage 1998)

S. 197   1. / 2. / 3.

Duden Physik Oberstufe

S. 371   5. / 6. / 7.