Die Grundaussagen der speziellen Relativitätstheorie

Einstein fragte sich schon als junger Mensch, was er sehen würde, wenn er auf einer Lichtwelle reiten würde. Anstelle von bewegten elektromagnetischen Wellen würde er oszillierende elektrische und magnetische Felder sehen, die sich in Ruhe befänden. Derartige Felder wurden jedoch niemals gemessen und stünden im Widerspruch zu Maxwells elektromagnetischer Theorie.

Einstein war deswegen der Überzeugung, dass die Vorstellung einer ruhenden Lichtwelle und selbst die einer reduzierten Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen unzulässig war.

Einstein schlug daher vor, sich von der Idee des Äthers und damit von der Vorstellung der Existenz eines absoluten Raumes zu lösen. Er drückte dies in zwei Postulaten aus, die als Grundaussagen der speziellen Relativitätstheorie gelten:

Postulate der speziellen Relativitätstheorie

1. Relativitätsprinzip

Die Gesetze der Physik haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form.

Einstein erweiterete das Newton'sche Relativitätsprinzip auf alle Gesetze der Physik, einschließlich Elektrizität und Magnetismus, und nicht nur der Mechanik

2. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit

Licht breitet sich im Vakuum in allen Inertialsystemen mit der gleichen Geschwindigkeit c aus, die unabhängig von der Geschwindigkeit der Lichtquelle oder des Beobachters ist.

Der Wert von c beträgt c=\dfrac {1}{\sqrt {\varepsilon_{0}\mu_{0}}}=299.792.458\frac {m}{s}

Eine Konsequenz aus den beiden Postulaten lautet:

Es existiert kein Äther und kein absolutes Bezugssystem!

Nach den Galilei-Transformationen kann in der klassischen Mechanik nur eine unendlich große Geschwindigkeit in allen Bezugssystemen den gleichen Wert haben. Die Lichtgeschwindigkeit nimmt somit den Stellenwert einer solchen unendlich hohen Geschwindikeit ein. Das bedeutet:

Kein Körper, keine Wirkung und kein Signal kann schneller sein als das Licht.

Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit hat weitreichende Konsequenzen, die unsere Vorstellung von Raum und Zeit grundlegend verändern. Zum Beispiel folgt daraus die Relativität des Begriffs der Gleichzeitigkeit sowie die Relativität der Zeitdauer von Vorgängen.

Die Umrechnung der Koordinaten von einem Inertialsystem in ein anderes ist mit Hilfe der Galilei-Transformation möglich, solange die Geschwindigkeiten vernachlässigbar gegenüber der Lichtgeschwindigkeit sind. Für größere Geschwindigkeiten müssen diese Gleichungen jedoch modifiziert werden.

Die Lorentz-Transformation

Die Gleichungen, die es ermöglichen, die räumlichen und zeitlichen Koordinaten unter Berücksichtigung der Postulate der speziellen Relativitätstheorie von einem Inertialsystem in ein anderes umzurechnen, werden als Lorentz-Transformation bezeichnet.

Sie wurden erstmals von H. A. Lorentz aufgestellt und unabhängig davon von Einstein auf Grundlage seiner Relativitätstheorie abgeleitet.

Zur Herleitung der Lorentz-Transformation gehen wir wieder davon aus, dass sich ein Inertialsystem S' gegenüber einem System S mit der Geschwindigkeit v in positive x-Richtung bewegt:

Inertialsysteme Lorentz-Transformation

Wir nehmen an, dass die Gleichungen der Transformation die Form

x=\gamma (x'+vt'),     y=y',     z=z'        (1)

haben.

Wir modifizieren also die Gleichung der Galilei-Transformation mit einem noch unbekannten Faktor \gamma ("gamma", für Geschwindigkeiten v << c, also nicht relativistisch, gilt:  \gamma=1). Die Gleichungen für y und z bleiben unverändert.

Die Gleichungen für die umgekehrte Transformation müssen dieselbe Form haben, wenn v durch -v ersetzt wird.

Es muss also ebenfalls gelten:

x'=\gamma (x-vt).        (2)

Verlässt nun ein Lichtimpuls zur Zeit t=t'=0 den gemeinsamen Ursprung von S und S', so hat er zur Zeit t eine Entfernung von x=ct oder x'=ct' entlang der x-Achse zurückgelegt.

Aus den Gleichungen (1) und (2) ergibt sich so

ct=\gamma (ct'+vt')=\gamma (c+v)t'        (3)

sowie

ct'=\gamma (ct-vt)=\gamma (c-v)t        (4)

Setzt man t' aus Gleichung (4) in Gleichung (3) ein, so ergibt sich

ct=\gamma (c+v)\cdot \gamma (c-v)\cdot \dfrac {t}{c}=\gamma^{2}(c^{2}-v^{2})\cdot \dfrac {t}{c}

Dividieren durch t und Auflösen nach \gamma führt zu

\gamma=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}

Mit dem nun bekannten Faktor \gamma, der auch als Lorentz-Faktor bezeichnet wird, lässt sich die Beziehung zwischen t und t' herleiten.

Dazu setzen wir Gleichung (1)  [x=\gamma (x'+vt')]  in Gleichung (2)  [x'=\gamma (x-vt)]  ein und erhalten:

x'=\gamma \left( \gamma [x'+vt']\right)

Löst man diese Gleichung nach t auf, so erhält man

t=\gamma \left( t'+\dfrac {vx'}{c^{2}}\right)

Es ergibt sich also, dass die Zeiten t und t' nicht identisch sind, sondern sich unterscheiden.

Insgesamt ergeben sich folgende Gleichungen für die Lorentz-Transformation:

Umrechnung von S' nach S

x=\gamma (x'+vt')=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}} \cdot (x'+vt')

y=y'

z=z'

t=\gamma \left(t'+\dfrac {vx'}{c^{2}}\right)=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}\cdot \left(t'+\dfrac {vx'}{c^{2}}\right)

Umrechnung von S nach S'

x'=\gamma (x-vt)=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}} \cdot (x-vt)

y'=y

z'=z

t'=\gamma \left(t-\dfrac {vx}{c^{2}}\right)=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}\cdot \left(t-\dfrac {vx}{c^{2}}\right)

Lorentz-Faktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit

Für kleine Geschwindigkeiten gilt für den Lorentz-Faktor:  \gamma=1, und die Lorentz-Transformation geht in die Galilei-Transformation über. Erst bei sehr hohen Geschwindigkeiten nimmt der Lorentz-Faktor deutlich von 1 verschiedene Werte an:

\; \; \boldsymbol{\dfrac {v}{c}}\; \; 0,01 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 0,99
\; \; \boldsymbol {\gamma}\; \; 1,000005 1,005 1,021 1,091 1,250 1,667 2,294 7,089

Die folgende Abbildung zeigt den Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit. Hier erkennt man noch besser, wie der Lorentzfaktor bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit steil ansteigt:

Lorentzfaktor Diagramm

Mit Hilfe der Lorentz-Transformationsgleichungen können alle Effekte der relativistischen Kinematik, wie die Zeitdilatation oder der Längenkontraktion, hergeleitet werden. Mehr dazu erfährst Du auf den folgenden Seiten.