Der vertikale Wurf

Bei einem vertikalen Wurf wird einem Körper eine Geschwindigkeit in vertikale Richtung, also nach oben oder nach unten, erteilt.

Gäbe es keine Schwerkraft, so würde sich der Körper immer weiter mit dieser Anfangsgeschwindigkeit v_{0} bewegen. Aufgrund der Schwerkraft wird der Körper jedoch zusätzlich beschleunigt. Die Beschleunigung beträgt a=g, und hat die gleiche Richtung wie die Schwerkraft.

Ist die Anfangsgeschwindigkeit Null, sprechen wir vom freien Fall.

Bei einem vertikalen Wurf überlagern sich also eine gleichförmige Bewegung mit der beschleunigten Bewegung des freien Falls.

Vertikaler Wurf nach unten

Beim vertikalen Wurf nach unten haben Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung die gleiche Richtung.

Nach dem Abwurf wirkt auf den Körper die konstante Gewichtskraft nach unten, die zur konstanten Beschleunigung a=g führt. Die Geschwindigkeit wird dadurch mit der Zeit größer.

Für die Geschwindigkeit gilt:

v=v_{0}+g\cdot t

Für den zurückgelegten Weg gilt:

s=v_{0}\cdot t+\frac {1}{2} g\cdot t^{2}        für s_{0}=0

Vertikaler Wurf nach oben

Beim vertikalen Wurf nach oben haben Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung die entgegengesetzte Richtung. Die Geschwindigkeit wird dadurch mit der Zeit kleiner und kehrt sich am obersten Punkt um.

Ordnet man der Richtung nach oben positive und nach unten negative Werte zu, so ergibt sich

für die Geschwindigkeit:

v=v_{0}-g\cdot t

für den zurückgelegten Weg:

s=v_{0}\cdot t-\frac {1}{2} g\cdot t^{2}

Berechnung der Steighöhe beim vertikalen Wurf nach oben

Um die Höhe zu berechnen, die ein mit der Geschwindigkeit v_{0} nach oben geworfener Körper erreicht, kann man folgende Überlegung anstellen:

Am höchsten Punkt, also bei der gesuchten Steighöhe H, kehrt sich die Bewegungsrichtung um (Umkehrpunkt). Die Geschwindigkeit bei dieser Höhe ist also Null.

Es gilt also:

v=v_{0}-g\cdot t=0        und damit        v_{0}=g\cdot t

Damit gilt der gleiche Zusammenhang wie beim freien Fall – die Steigphase entspricht der umgekehrten Bewegung des freien Falls. Hat der Körper die maximale Höhe erreicht, so folgt ein freier Fall aus dieser Höhe.

Für den zurückgelegten Weg gilt das Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

s=\frac {1}{2}at^{2}        bzw. mit  a=g   und  s=H        H=\frac {1}{2}gt^{2}

Die Zeit entspricht der Steigzeit bzw. der Fallzeit. Sie beträgt

t_{S}=t_{F}=\dfrac {v_{0}}{g}

Damit erhält man für die Steighöhe:

H=\dfrac {v_{0}^{2}}{2g}

Wurfdauer und Steighöhe beim vertikeln Wurf nach oben

Die Steigzeit beim vertikalen Wurf nach oben ist gleich der Fallzeit.

Die Steigzeit beträgt:

t_{S}=\dfrac {v_{0}}{g}

mit v_{0} = Abwurfgeschwindigkeit (Anfangsgeschwindigkeit)

Damit beträgt die Wurfdauer:

t_{W}=\dfrac {2v_{0}}{g}

Für die Steighöhe H ergibt sich:

H=\dfrac {v_{0}^{2}}{2g}

Beispielaufgabe:

Wie hoch fliegt eine Kugel, die mit v_{0}=12\, \frac {m}{s} senkrecht nach oben geworfen wird?

Wie lange dauert es, bis sie wieder am Abwurfpunkt auftrifft?

Die Steighöhe beträgt

H=\dfrac {v_{0}^{2}}{2g}=\dfrac {(12\frac {m}{s})^{2}}{2\cdot 9,81\frac {m}{s^{2}}}=7,34\, m

Die Wurfdauer beträgt

t_{W}=\dfrac {2\cdot 12\frac {m}{s}}{9,81\frac {m}{s^{2}}}=2,45\, s

Unter der Voraussetzung, dass die Luftreibung vernachlässigt werden kann, ist die Geschwindigkeit beim Fallen genauso groß wie beim Steigen, d.h. der Körper erreicht nach dem Fallen bei h = 0 die gleiche Geschwindigkeit, mit der er abgeworfen wurde.

Welchen Einfluss hat die Luftreibung?

Alle hergeleiteten Formeln gelten nur bei vernachlässigbarer Luftreibung.

Ist die Abwurfgeschwindigkeit sehr groß, darf die Luftreibung nicht mehr vernachlässigt werden. Das ist z.B. der Fall, wenn ein Geschoss senkrecht nach oben abgeschossen wird. Durch die Luftreibung wird das Geschoss gebremst, so dass es nicht die Höhe erreicht, die sich mit der hergeleiteten Formel für die Wurfhöhe ergeben würde.

Bei einer Abschussgeschwindigkeit von v_{0}=500\, \frac {m}{s} ergäbe sich ohne Luftreibung eine Wurfhöhe von fast 13\, km, bei v_{0}=800\, \frac {m}{s} sogar fast 33\, km.

Aus der Formel für die Wurfhöhe ergibt sich:

Die doppelte Abwurfgeschwindigkeit führt (ohne Luftreibung) zur vierfachen Wurfhöhe. Doch je größer die Geschwindigkeit ist, umso größer ist auch die Luftreibung.

Realistisch für die erreichbare Höhe eines Geschosses mit der o.g. Abschussgeschwindigkeit sind etwa 3km.

Dadurch, dass das Geschoss dann aus geringerer Höhe als der berechneten Wurfhöhe wieder herunterfällt und dabei wiederum der Luftreibung ausgesetzt ist, ist die Geschwindigkeit, mit der es auf den Boden trifft, deutlich kleiner als die Abschussgeschwindigkeit. Trotzdem können Geschosse beim Herunterfallen Geschwindigkeiten von mehreren Hundert km/h erreichen und sind damit weiterhin sehr gefährlich!

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