Das Zeit-Weg-Gesetz - Physikunterricht-Online

Das Zeit-Weg-Gesetz für gleichförmige Bewegungen

Mit der Definition der Geschwindigkeit haben wir einen Zusammenhang zwischen den drei Größen

Weg s, Zeit t und Geschwindigkeit v

gefunden.

Diese drei Größen sind so miteinander verknüpft, dass wir jeweils eine der Größen berechnen können, wenn die anderen beiden bekannt sind.

Sind der zurückgelegte Weg s und die dafür benötigte Zeit t bekannt, so können wir die Geschwindigkeit v berechnen:

$v=\dfrac {s}{t}$ (1)

Das haben wir bereits auf der vorherigen Seite am Beispiel gezeigt.

Genauso können wir aber auch den zurückgelegten Weg berechnen, wenn wir die Geschwindigkeit kennen, mit der sich ein Objekt für eine bestimmte Zeit bewegt. Wir müssen dafür nur die Gleichung so umformen, dass die gesuchte Größe, in diesem Fall also der Weg s, allein auf einer Seite steht:

Um die Gleichung (1) nach s umzuformen, multiplizieren wir die gesamte Gleichung (also beide Seiten) mit der Zeit t:

$v=\dfrac {s}{t}$ | $\cdot \; t$

$v \cdot t=s$ bzw. $s=v \cdot t$

Damit haben wir eine Gleichung gefunden, mit der wir den Weg s in Abhängigkeit von der Zeit t für eine bestimmte (konstante) Geschwindigkeit v berechnen können.

Diese Gleichung wird als Zeit-Weg-Gesetz (oder Weg-Zeit-Gesetz) bezeichnet. Es gilt für gleichförmige Bewegungen, also für konstante Geschwindigkeiten.

Hinweis:

Auf der Seite Formeln umstellen wird Schritt für Schritt anhand vieler Beispiele erklärt, wie man physikalische Gleichungen umstellt. Dies ist eine der wichtigsten Fähigkeiten, die Du zum Lösen zahlreicher Physikaufgaben benötigst.

Das Zeit-Weg-Gesetz für gleichförmige Bewegungen

Bewegt sich ein Objekt für die Zeit $\boldsymbol {t}$ mit der Geschwindigkeit $\boldsymbol {v}$ , so beträgt der zurückgelegte Weg $\boldsymbol {s}$ :

$\boldsymbol {s=v \cdot t}$

Beispielaufgaben zum Zeit-Weg-Gesetz

Wir beginnen mit einem ganz einfachen Beispiel, das Du sicher schon im Kopf berechnen kannst:

Beispielaufgabe 1:

Ein Auto fährt für 2,5 Stunden mit einer Geschwindigkeit von 120 km/h. Welche Strecke legt es in dieser Zeit zurück?

Gegebene Größen: t = 2,5 h / v = 120 km/h

Es gilt: $s=v \cdot t$

Wir setzen die genannten Werte ein und erhalten:

$s=120 \; \frac {km}{h}\cdot 2,5 \; h=300\; km$

Ergebnis: Der zurückgelegte Weg beträgt 300 km.

Hinweise:

Wie wir bereits diskutiert haben, wird das Auto nicht über einen Zeitraum von 2,5 Stunden mit exakt gleicher Geschwindigkeit fahren. Wir betrachten die angegebene Geschwindigkeit als Durchschnittsgeschwindigkeit.
In diesem Fall brauchten wir die Einheiten nicht umzurechnen, da sowohl bei der Geschwindigkeit als auch bei der Zeit die Einheit Stunden (h) auftaucht. Diese kürzt sich beim Berechnen raus:

$s=120 \; \frac {km}{h}\cdot 2,5 \; h=300 \; \dfrac {km \cdot h}{h}$

Es gilt $\dfrac {h}{h}=1$ Damit fällt die Einheit h weg, und übrig bleibt die Einheit km.

Nun ein etwas schwierigeres Beispiel:

Beispielaufgabe 2:

Ein Läufer läuft 5 Minuten mit einer Geschwindigkeit von 18 km/h. Welche Strecke legt er zurück?

Gegebene Größen: t = 5 min / v = 18 km/h

In diesem Fall ist es wichtig, dass wir die Einheiten umrechen, denn Minuten und km/h passen nicht zusammen. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten a) und b):

a) Wir rechnen die Zeit in Stunden um, da die Geschwindigkeit in km/h (Kilometer pro Stunde) angegeben ist.

b) Wir rechnen die Geschwindigkeit in m/s (Meter pro Sekunde) und die Zeit in Sekunden um.

Beide Möglichkeiten sind gleichwertig, das Ergebnis hängt nicht davon ab, für welche wir uns entscheiden:

a) $t=\frac {5}{60}\; h = \frac {1}{12}\; h$ (da eine Stunde 60 Minuten hat)

Damit ergibt sich: $s=v\cdot t=18 \; \frac {km}{h}\cdot \frac {1}{12}\; h=1,5\; km$

Ergebnis: Der Läufer legt in der Zeit eine Strecke von 1,5 km zurück.

b) $t=5\cdot 60\; s=300\;s$ (da eine Minute 60 Sekunden hat)

$v=18\; \frac{km}{h}=5 \; \frac {m}{s}$ (Wir erinnern uns: $1\; \frac {m}{s}=3,6 \; \frac {km}{h}$ )

Damit ergibt sich: $s=v\cdot t=5\; \frac {m}{s}\cdot 300\; s=1500\; m=1,5\; km$

Wie Du siehst, kommt in beiden Fällen das gleiche Ergebnis heraus, für a) in der Einheit km, für b) in der Einheit m.

Berechnung der Zeit t

Wir können auch die dritte Größe, die Zeit t, berechnen, wenn Strecke und Geschwindigkeit bekannt sind. Dazu müssen wir das Weg-Zeit-Gesetz noch einmal umformen, und zwar so, dass die Zeit t allein auf einer Seite steht.

Dazu dividieren wir die Gleichung durch v:

$s=v\cdot t$ | $:v$

$t=\dfrac {s}{v}$

Damit lassen sich z.B. Aufgaben wie die folgende lösen:

Aufgabe zur Berechnung der Zeit:

Ein Auto fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 110 km/h eine Strecke von 280 km.

Wie lange dauert die Fahrt?

Gegebene Größen: v = 80 km/h / s = 140 km

Es gilt: $t=\dfrac {s}{v}$ (s.o.)

Wir setzen die genannten Werte ein und erhalten:

$t=\dfrac {140\;km}{80\; \frac {km}{h}}=1,75\;h=1\frac {3}{4}\; h=1:45 \;min$

Ergebnis: Die Fahrt dauert 1:45 h (eine Stunde und 45 Minuten).

Beachte auch hier, dass je nach Aufgabenstellung ggf. Einheiten umgerechnet werden müssen. Ist die Strecke in m und die Geschwindigkeit in km/h angegeben, so muss Du entweder mit km und km/h oder mit m und m/s rechnen.

Im ersten Fall würde für die Zeit die Einheit Stunden, im zweiten Fall die Einheit Sekunden herauskommen.

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