Allgemeine Bewegungsgleichungen und vektorielle Größen

Vektorielle Größen

Bei vielen physikalischen Größen kommt es nicht nur auf den Betrag, also den Zahlenwert, an. Bei vielen physikalischen Größen spielt neben dem Betrag auch die Richtung eine entscheidende Rolle.

Bewegt sich ein Körper, so hängt sein Ort nach einer bestimmten Zeit von der Bewegungsrichtung ab.

Ob ein Körper schneller oder langsamer wird oder seine Richtung ändert, hängt von der Richtung der Beschleunigung ab.

Größen, bei denen die Richtung eine Rolle spielt, nennt man vektorielle Größen.

Vektorielle Größen werden mit einem Pfeil über dem Formelzeichen gekennzeichnet.

Beispiele für vektorielle Größen:

Strecke $\overrightarrow {s}$

Geschwindigkeit $\overrightarrow {v}$

Beschleungigung $\overrightarrow {a}$

Kraft $\overrightarrow {F}$

Die Vektorielle Formen der Bewegungsgleichungen lauten damit:

Für gleichförmige Bewegungen

$\overrightarrow {s}=\overrightarrow {v}\cdot t$

Für gleichmäßig beschleunigte Bewegungen

$\overrightarrow {v}=\overrightarrow {a}\cdot t$

$\overrightarrow {s}=\dfrac {1}{2}\overrightarrow {a}t^{2}$

Dass wir bisher auch mit den Betragsgleichungen klargekommen sind, liegt daran, dass wir bei allen bisherigen Beispielen nur zwei mögliche Richtungen zugelassen haben, da es sich bei allen Beispielen um geradlinige Bewegungen handelte.

Die beiden verschiedenen Richtungen haben wir mit entgegengesetzten Vorzeichen gekennzeichnet und bei Berechnungen berücksichtigt.

Wie man damit umgeht, wenn z.B. die Richtung zweier Kräfte oder Geschwindigkeiten nicht übereinstimmen oder entgegen gerichtet sind, erfährst in Kürze Du auf der Seite

Vektorielle Addition physikalischer Größen

Allgemeine Bewegungsgleichungen

Die Gleichungen für gleichförmige oder gleichmäßig beschleunigte Bewegungen, wie sie oben in vektorieller Form aufgeführt sind, gelten in dieser Form nur für Spezialfälle. Doch bisher haben wir auch nur entsprechende Spezialfälle behandelt, denn:

Wir sind bisher immer davon ausgegangen, dass bestimmte Anfangsbedingungen gelten, nämlich

$t=0$ , $s=0$ , $v=0$

In Worten:

Zu Beginn der betrachteten Bewegung (also zum Zeitpunkt t = 0), wurde noch kein Weg zurückgelegt (also gilt zu diesem Zeitpunkt: s = 0).

Auch die Geschwindigkeit ist zum Beginn oder am Ende Null (v = 0) (Start aus der Ruhe bzw. Bremsen bis zum Stillstand).

Das muss jedoch nicht immer gelten!

Beispiel:

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h und beschleunigt dann zum Überholen mit a = 2m/s² für 5 Sekunden.

1. Berechnung der erreichten Geschwindigkeit:

Würden wir hier die Formel $v=at$ ohne Berücksichtigung der Anfangsgeschwindigkeit benutzen, so kämen wir auf das Ergebnis

$v=2\dfrac {m}{s^{2}}\cdot 5s=10\frac {m}{s}=36\frac {km}{h}$

Doch so erhalten wir nur die Geschwindigkeitszunahme.

Um die erreichte Endgeschwindigkeit zu ermitteln, müssen wir noch die Anfangsgeschwindigkeit v₀ = 80km/h hinzuaddieren.

Die erreichte Geschwindigkeit beträgt also

v = 36km/h + 80km/h = 116km/h.

Allgemein gilt also

$v=v_{0}+at$ , wobei $v_{0}$ die Anfangsgeschwindigkeit ist.

2. Berechnung der zurückgelegten Strecke:

Auch bei Berechnung der zurückgelegten Strecke innerhalb der Zeit von 5 Sekunden macht es einen Unterschied, ob die Beschleunigung aus der Ruhe erfolgt, oder das Auto bereits in Bewegung ist.

Selbst ohne Beschleunigung, also bei konstanter Geschwindigkeit, legt das Auto die Strecke $s=vt$ zurück.

Bei der Geschwindigkeit von v = 80km/h = 22,22m/s wären das

$s=22,\overline {2}\frac {m}{s}\cdot 5s=111,11m$

Nun beschleunigt das Auto jedoch innerhalb dieser Zeit mit $a=2\frac {m}{s^{2}}$ . Hinzu kommt also die Strecke

$s=\frac {1}{2}at^{2}=\frac {1}{2}\cdot 2\frac {m}{s^{2}}\cdot \left(5s\right)^{2}=25m$

Der gesamte zurückgelegte Weg beträgt also

$s=111,11m+25m=136,11m$

Allgemein gilt also

$s=v_{0} t+\frac {1}{2}at^{2}$

Stellt man den Vorgang in einem v-t-Diagramm dar, so lassen sich beide Streckenabschnitte erkennen. Die zurückgelegte Strecke entspricht der Fläche unter dem Diagramm:

Die Fläche des gründen Rechtecks entspricht der bei konstanter Geschwindigkeit von v = 80 km/h zurückgelegten Strecke. (111,11m)

Die Fläche des blauen Dreiecks entspricht der aus der Ruhe bei konstanter Beschleunigung mit a = 2 m/s² zurückgelegten Strecke.

Beide Strecken zusammen ergeben die gesamte beim Überholvorgang zurückgelegten Strecke.

In allen Fällen, in denen vor dem betrachteten Bewegungsvorgang (der bei t=0 beginnt) bereits eine Strecke s₀ zurückgelegt wurde oder die Geschwindigkeit nicht Null war, muss die bis dahin zurückgelegte Strecke bzw. die bei t=0 vorhandene Geschwindigkeit hinzuaddiert werden. Das gilt auch für gleichförmige Bewegungen. So ergeben sich die allgemeinen Bewegungsgleichungen: