Erzwungene Schwingungen

Was versteht man unter einer erzwungenen Schwingung?

Damit ein Oszillator trotz Dämpfung immer mit gleicher Amplitude schwingt (so, als wäre sie ungedämpft), muss man die durch Reibung verloren gegangene Energie immer im richtigen Moment (im Rhythmus der Schwingung, also mit gleicher Frequenz) von außen zuführen.

Jedes frei schwingende System führt Schwingungen mit einer ganz bestimmten Frequenz aus (je nach Beschaffenheit des Oszillators).

Für einen harmonische Oszillation lässt sich die Schwingungsdauer mit der Formel

$T=2\pi\sqrt {\dfrac {m}{D}}$ berechnen.

Die entsprechende Frequenz beträgt

$f=\dfrac {1}{2\pi\sqrt {\dfrac {m}{D}}}$ oder einfacher $f=\dfrac {1}{2\pi}\sqrt {\dfrac {D}{m}}$

Diese Frequenz nennt man Eigenfrequenz f₀ des schwingenden Systems.

Mann kann jedoch jeden Oszillator auch zu einer Schwingung jeder beliebigen anderen Frequenz anregen. Man spricht dann von einer erzwungenen Schwingung.

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung hängt von der Erregerfrequenz und von der Dämpfung ab.

Resonanzkurve

Regt man einen Oszillator mit verschiedenen Frequenzen an und ermittelt dabei die Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz, so entsteht eine Resonanzkurve.

Folgende Abbildung zeigt eine solche Resonanzkurve für verschieden starke Dämpfungen (rot: keine Dämpfung, orange: größte Dämpfung):

Man erkennt:

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ändert sich mit der Erregerfrequenz f_E.

Am größten ist die Amplitude, wenn Erregerfrequenz f_E (oder Zwangsfrequenz) und Eigenfrequenz f₀ übereinstimmen. Man spricht dann vom Resonanzfall.

Unter der Resonanzbedingung f_E ≈ f₀ ist die Amplitude besonders groß, wenn die Dämpfung gering ist.

Resonanz

Die Amplitude einer erzwungenen Schwingung ändert sich mit der Erregerfrequenz f_E.

Ist die Erregerfrequenz gleich der Eigenfrequenz (f_E = f₀), ist die Amplitude maximal.

Dieser Fall wird als Resonanzfall bezeichnet.

Resonanzkatastrophe

Bei sehr kleiner Dämpfung kann die Resonanzamplitude so groß werden, dass das schwingende System zerstört wird. Unter ungünstigen Bedingungen können z.B. Windböen, die zufällig periodisch auftreten, höhere Gebäude oder Brücken zum Einsturz bringen. Bei Erdbeben können die periodischen Bodenbewegungen zum Aufschaukeln der Gebäudestruktur bis zum Zusammenbruch führen.

Man spricht dann von einer Resonanzkatastrophe.

Verhindert werden kann sie durch eine wirkungsvolle Dämpfung.

Ein berühmtes Beispiel für eine Resonanzkatastrophe war der Einsturz der 1 km langen Tacoma-Hängebrücke (USA) im Jahr 1940.

Dieses Ereignis wurde auf Film festgehalten. Bei youtube findet man zahlreiche Videos:

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