Beispielaufgaben zu den Gasgesetzen
Der erste Schritt bei der Lösung von Aufgaben zu den Gasgesetzen ist es zu ermitteln, welche der drei Zustandsgrößen konstant bleibt, also welche Art von Zustandsänderung vorliegt. Daraus ergibt sich dann, welches der Gasgesetze angewandt werden kann.
Aufgabe 1:
Bei einer Temperatur von 18 °C beträgt der Druck in einem Autoreifen 220 kPa.
Das Auto steht auf einem Parkplatz in der Sonne. Dadurch erhöht sich die Temperatur im Reifen auf 55 °C.
Frage: Auf welchen Wert vergrößert sich der Reifendruck?
Vorüberlegung:
Gegeben sind folgende Größen:
![Rendered by QuickLaTeX.com \vartheta_{1}=18\, ^{\circ}C](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c277d06913751ecc2247de5fd5bef366_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \vartheta_{2}=55\, ^{\circ}C](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a9fb5d2e0ffd52a255118347b949e7bd_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{1}=220\, kPa](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1dbfdf55b7d4664bdc429b45895d9e68_l3.png)
Gesucht ist ![Rendered by QuickLaTeX.com p_{2}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a716fe284220c1119481909ca82ec246_l3.png)
In diesem Beispiel ändern sich Temperatur T und Druck p. Das Volumen V eines Autoreifens ist jedoch unabhängig vom Druck weitgehend konstant.
Es gilt also V = konst.
Damit handelt es sich annähernd um eine isochore Zustandsänderung, und es lässt sich das Gesetz von Amontons anwenden:
Es gilt also:
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac {p_{1}}{T_{1}}=\dfrac {p_{2}}{T_{2}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1646f76f938447d2f879f9f4916730f1_l3.png)
Gesucht ist in diesem Beispiel p2 (s.o.). Umstellen der Gleichung nach p2 ergibt:
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{2}=T_{2}\cdot \dfrac {p_{1}}{T_{1}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-099c580a11df886cce8b715b2316a45d_l3.png)
Nun werden die Werte eingesetzt.
Wichtig dabei ist, dass man alle Werte in den Basiseinheiten einsetzt, also
Temperaturen in Kelvin: T1 = 291,15 K, T2 = 328,15 K
Druck in Pascal: p1 = 220.000 Pa
Damit ergibt sich:
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{2}=328,15\, K\cdot \dfrac {220\,000\,Pa}{291,15\, K}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e4fafb93b2295fe7087f4c3e0c3e1e87_l3.png)
Das Ergebnis lautet:
(Das sind
oder
)
Aufgabe 2:
Wie viel Luft entweicht aus einem quaderförmigen Raum mit 10 m Länge, 6 m Breite und 4 m Höhe, wenn die Raumtemperatur von 12 °C auf 20 °C erhöht wird und der Luftdruck konstant bleibt?
Vorüberlegung:
Gegeben sind folgende Größen:
→ kann aus den Abmessungen des Raumes berechnet werden:
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{1}=10\, m\cdot 6\, m\cdot 4\, m=240\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d16bd53b5c07717771c8d7eea4b52891_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \vartheta_{1}=12\, ^{\circ}C](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de6a56aff19f7ceb7c0e8e8be50159f2_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \vartheta_{2}=20\, ^{\circ}C](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-70e7deef12b797ad3da997134a3b75cf_l3.png)
Gesucht ist die Volumenänderung ΔV = V2 – V1. Da V1 bekannt ist (s.o.), muss also zunächst V2 berechnet werden.
Da der Luftdruck konstant bleibt (p = konst.), handelt es sich um eine isobare Zustandsänderung.
Damit lässt sich das Gesetz von Gay-Lussac anwenden:
Es gilt:
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac {V}{T}=konst.](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f20614ab74e08c95756aebfd7db510ce_l3.png)
bzw.
![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac {V_{1}}{T_{1}}=\dfrac {V_{2}}{T_{2}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2b50447d5f51917349b3fb279a8d403_l3.png)
Nun stellen wir diese Gleichung nach V2 um
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=\dfrac {V_{1}\cdot T_{2}}{T_{1}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-968f674b39018e5269c73f06e276c3da_l3.png)
und setzen die Werte ein (alle Werte in Basiseinheiten umrechnen!):
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=\dfrac {240\, m^{3}\cdot 293,15\, K}{285,15\, K}=246,73\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9b59a3c98a46b1e81a95181a7c2f9135_l3.png)
Nun muss noch die Volumenänderung berechnet werden:
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta V=V_{2}-V_{1}=246,73\, m^{3}-240\, m^{3}=6,73\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-49eb60766ff5d40c58ec4f4227f7a23d_l3.png)
Antwort: Es entweichen 6,73 m3 Luft aus dem Raum.
Aufgabe 3:
Wie viel Luft entweicht aus dem Raum der vorherigen Aufgabe, wenn gleichzeitig der Luftdruck von 1020 mbar auf 981 mbar sinkt?
Vorüberlegung:
Zusätzlich zu den in Aufgabe 2 genannten Größen gilt:
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{1}=1\,020\, mbar](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6c1809abbd1da59665b3f26ae0fca70b_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com p_{2}=981\, mbar](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a70f3c53eb864395750410b27c2b55b0_l3.png)
Da sich nun alle drei Zustandsgrößen ändern, liegt kein Spezialfall vor. Es reicht also nicht aus, nur eines der Gasgesetze anzuwenden.
Da der Druck kleiner wird, ist zu erwarten, dass mehr Luft entweichen wird als in Aufgabe 2.
Da sich alle Zustandsgrößen ändern, kann man die Allgemeine Gasgleichung benutzen. Diese lautet:
bzw. ![Rendered by QuickLaTeX.com \dfrac {p_{1}\, V_{1}}{T_{1}}=\dfrac {p_{2}\, V_{2}}{T_{2}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5f92d56599bc8f362c171a1130568a0a_l3.png)
Gesucht ist wieder die Volumenänderung, also zunächst V2.
Die allgemeine Gasgleichung muss also nach V2 umgestellt werden:
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=V_{1}\cdot \dfrac {T_{2}\cdot p_{1}}{T_{1}\cdot p_{2}}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-68c0276681455362c325c2600251e572_l3.png)
Nun werden die Werte eingesetzt (Basiseinheiten!*):
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=240\, m^{3}\cdot \dfrac {293,15\, K\cdot 102\,000\, Pa}{285,15\, K\cdot 98\,100\,Pa}=256,54\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1cbe34f7f003851735b34c44b271790c_l3.png)
* Hinweis:
In diesem Fall hätte man die Einheit des Drucks auch bei mbar belassen können, da sich die Einheit wegkürzt und das Verhältnis
unabhängig von der Einheit ist. Das gilt jedoch nicht für die Temperatur! Hier muss immer die absolute Temperatur eingesetzt werden.
Nun muss noch die Volumenänderung berechnet werden:
![Rendered by QuickLaTeX.com \Delta V=V_{2}-V_{1}=256,54\, m^{3}-240\, m^{3}=16,54\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c44a2db4626a80cbb41bad9248cd2776_l3.png)
Antwort: In diesem Fall entweichen 16,54 m3 Luft aus dem Raum.
Wie erwartet ist die entweichende Luftmenge größer als beim konstantem Druck in Aufgabe 2.
Alternative Lösung ohne Allgemeine Gasgleichung
Eine alternative Lösung ohne die allgemeine Gasgleichung anzuwenden ist möglich, wenn man sich überlegt, dass es keine Rolle spielt, ob sich Temperatur und Druck gleichzeitig oder nacheinander ändern.
Da wir in Aufgabe 2 bereits die Volumenänderung durch die Temperaturerhöhung berechnet haben, lässt sich in einem zweiten Schritt die Volumenänderung durch die Druckverminderung bei der konstanten Temperatur von 20 °C berechnen:
Nimmt man also an, dass die Temperaturerhöhung bereits abgeschlossen ist und sich nun anschließend der Druck ändert, liegt eine isotherme Zustandsänderung vor, und es lässt sich das Gesetz von Boyle-Mariotte anwenden:
bzw. ![Rendered by QuickLaTeX.com p_{1}\cdot V_{1}=p_{2}\cdot V_{2}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9a4b9bb0e3027e0a888466000dc5c74a_l3.png)
Umgestellt nach V2 ergibt sich:
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=\dfrac {p_{1}}{p_{2}}\cdot V_{1}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bd556080b4f8f1cdb7c43ec9c15d2d32_l3.png)
Einsetzen der Werte liefert
![Rendered by QuickLaTeX.com V_{2}=\dfrac {1020}{981}\cdot 246,73\, m^{3}=256,54\, m^{3}](https://physikunterricht-online.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-87f6d917f3a6f1ff0cb9b2646bd9ffb2_l3.png)
(Die Einheiten beim Druck kürzen sich weg, für V1 muss hier das Volumen nach der Temperaturänderung eingesetzt werden.)
Wir erhalten also auch auf diese Weise das gleiche Ergebnis für V2 wie mit der allgemeinen Gasgleichung!