Herleitung der Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen
Um eine Funktion für die Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit zu finden, wird folgende Überlegung angestellt:
Die Projektion einer gleichförmigen Kreisbewegung entspricht der Bewegung eines harmonischen Oszillators.
Der Radius r entspricht dabei der Amplitude ymax, die Umlaufdauer entspricht der Schwingungsdauer T:
Für die Elongation y gilt jeweils:
Der Winkel , den man auch als Phasenwinkel oder Phase bezeichnet, lässt sich mit Hilfe der Umlaufzeit ausdrücken, denn es gilt:
und damit
Dabei ist zu beachten, dass der Winkel im Bogenmaß angegeben wird.
Für einen gesamten Umlauf bzw. einen kompletten Schwingungsvorgang (also für die Periodendauer T) gilt: .
Der Quotient wird als Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit
bezeichnet:
Damit kann man für den Phasenwinkel auch schreiben:
Für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung y gilt also:
Für eine gleichförmige Kreisbewegung ist die Kreisfrequenz konstant.
Es gilt also
Wir haben damit also für eine harmonische Schwingung eine Funktion der der Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t gefunden. Sie lautet:
bzw.
(Die Klammer ist nicht notwendig, soll aber hier verdeutlichen, dass der Sinus von gemeint ist und nicht (
.)
Diese Funktion wird als Gleichung für harmonische Schwingungen bezeichnet. Sie lässt sich auch mit Hilfe der Schwingungsdauer T oder der Frequenz f ausdrücken.
Dazu ersetzt man die Kreisfrequenz wieder durch bzw.