Impuls-Energie-Beziehung - Physikunterricht-Online

Relativistischer Impuls und relativistische Energie

Für die Ruheenergie eines Teilchens gilt:

$E_{0}=m_{0}c^{2}$ mit $m_{0}$ = Ruhemasse

Die Gesamtenergie eines bewegten Objektes ergibt sich aus der Summe der Ruheenergie und der kinetischen Energie:

$E=E_{0}+E_{kin}=mc^{2}$ wobei $m$ hier die relativistische Masse $m=m_{0}\cdot \gamma}$ ist.

Für die relativistische kinetische Energie gilt

$E_{kin}=(m-m_{0})c^{2}$ bzw. $E_{kin}=m_{0}c^{2} \cdot \left( \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}-1\right)$

und damit für die relativistische Gesamtenergie

$E_{ges}=m_{0}c^{2} \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}$ mit $m_{0}c^{2}=E_{0}$ (Ruheenergie, s.o.)

Für den relativistischen Impuls gilt:

$p=m_{0}\gamma=m_{0}v\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Beziehung zwischen Energie und Impuls:

Mit der Energie von Photonen $E=hf=h\cdot \dfrac {c}{\lambda}$ und der De-Broglie-Beziehung $\lambda=\dfrac {h}{p}$ ergibt sich für den

relativistischen Impuls für Photonen $p_{Photon}=\dfrac {E}{c}$ und damit für die Energie $E=pc$ .

Teilt man den relativistischen Impuls durch die relativistische (Gesamt-) Energie (s.o.), so erhält man

$\dfrac {p}{E}=\dfrac {v}{c^{2}}$ und damit für die Geschwindigkeit $v=\dfrac {pc^{2}}{E}$ .

Damit lässt sich in der Formel für die relativistische Gesamtenergie die Geschwindigkeit $v$ ersetzen.

So erhält man:

$E=m_{0}c^{2}\cdot \dfrac {1}{\sqrt {1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}}}$ | $(\,)^{2}$ Quadrieren führt zu

$E^{2}=m_{0}^{2}c^{4}\cdot \dfrac {1}{1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}}$ | $\cdot \left(1-\dfrac {p^{2}c^{2}}{E^{2}}\right)$

Durch Multiplikation mit dem Nenner auf der rechten Seite und dem Ausmultiplizieren der Klammer ergibt sich schließlich für die

Energie-Impuls-Beziehung:

$E^{2}-p^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}=E_{0}^{2}$ und für Elektronen $E_{e}^{2}-p_{e}^{2}c^{2}=m_{e,e}^{2}c^{4}$

Damit gilt

$E=\sqrt {E_{0}^{2}+(cp)^{2}}$ bzw. $p=\dfrac {\sqrt {E^{2}-E_{0}^{2}}}{c}$

[ Die sog. Impuls-Energie beträgt $E_{Imp}=\sqrt {E^{2}-(cp)^{2}$ . Diese ist invariant gegenüber einem Wechsel des Bezugssystems. ]

De-Broglie-Wellenlänge für Elektronen hoher kinetischer Energie (relativistisch)

Wir verwenden nun die Beziehung für relativistische Energie und Impuls zur Herleitung der De-Broglie-Wellenlänge für Elektronen hoher Energie.

Mit $E=E_{0}+E_{kin}$ folgt für den Impuls

$p=\dfrac {\sqrt {\left( E_{0}+E_{kin} \right)^{2}-E_{0}^{2}}}{c}=\dfrac {\sqrt {2\,E_{0}\cdot E_{kin}+E_{kin}^{2}}}{c}$

Diesen setzen wir nun in die De-Broglie-Beziehung $\lambda=\dfrac {h}{p}$ ein und erhalten so:

$\lambda=\dfrac {hc}{\sqrt {2\,E_{0}\cdot E_{kin}+E_{kin}^{2}}}$

Schließlich ersetzen wir die Energien mit $E_{0}=m_{e}c^{2}$ und $E_{kin}=U_{B}e}$ und erhalten für die

De-Broglie-Wellenlänge (relativistisch):

$\lambda=\dfrac {hc}{\sqrt {2\, U_{B}\,e\,m_{e}\,c^{2}+\left(U_{B}\,e \right)^{2}}}$

Zur Erinnerung: Die klassische Berechnung ergab für die De-Broglie-Wellenlänge

$\lambda= \dfrac {h}{\sqrt {2\, U_{B}\,e\,m_{e}}}$ (klassisch)

Für hohe Beschleunigungsspannungen müssen wir also auch die De-Broglie-Wellenlänge relativistisch berechnen.

Der Fehler, den man mit der klassischen Berechnung macht, ist bei Beschleunigungsspannungen von einigen kV vernachlässigbar. Er beträgt bei 1 kV nur etwa 0,05%, bei 10 kV knapp 0,5%. Für U_B = 100 kV liegt der Fehler bei 4,8%, bei 1 MV sind es knapp 41%.