Raum und Zeit - die vierdimensionale Raumzeit und Minkowski-Diagramme

Die vierdimensionale Raumzeit

Während es sich in der klassischen Physik bei Raum und Zeit um absolute Größen handelt, die völlig unabhängig voneinander existieren, belegt die Relativität von Zeit- und Längenmessungen, dass Raum und Zeit untrennbar miteinander verbunden sind.

Der deutsche Mathematiker Hermann Minkowski (1864-1909), der die spezielle Relativitätstheorie in die heute übliche mathematische Form brachte, entwickelte ein mathematisch-geometrisches Modell, die vierdimensionale Raumzeit (auch Minkowski-Welt genannt).

Von nun an sollten sollten Raum und Zeit untrennbar miteinander verbunden sein.

Raumzeit

In der speziellen Relativitätstheorie sind Raum und Zeit untrennbar miteinander verbunden.

Man spricht deshalb auch von der Raum-Zeit.

Minkowski-Diagramme

Im Jahre 1908 führte Hermann Minkowski spezielle Weg-Zeit-Diagramme ein, mit der sich alle Effekte der speziellen Relativitätstheorie verständlich darstellen lassen. Sowohl die Zeitdilatation als auch die Längenkontraktion lassen sich darin zeichnerisch darstellen und ermitteln. In diesen Minkowski-Diagrammen ist es üblich, die Zeit t auf der senkrechten und die Strecke x auf der waagerechten Achse aufzutragen.

In Minkowski-Diagrammen werden Ereignisse als Punkt mit den Koordinaten (x, t) dargestellt. Die Menge aller Ereignisse bildet eine Weltlinie.

Jeder Punkt auf der Weltlinie entspricht einem bestimmten Ort x zu einem bestimmten Zeitpunkt t. Ein solcher Punkt wird Weltpunkt genannt.

Da die Effekte der Relativitätstheorie nur bei sehr hohen Geschwindigkeiten nachweisbar sind, hat man es mit großen Geschwindigkeiten und entsprechend großen Weglängen zu tun. Die Skalierung der Achsen wird daher folgendermaßen vorgenommen:

Skalierung der t-Achse: Sekunden (s)

Skalierung der x-Achse: Lichtsekunden (Ls)

Die Achseneinteilung wird dabei so vorgenommen, dass gleiche Strecken für eine Sekunde und eine Lichtsekunde gewählt werden, also beispielsweise: Ein Zentimeter auf der t-Achse entspricht einer Sekunde, ein Zentimeter auf der x-Achse entspricht einer Lichtsekunde.

Daraus ergibt sich:

Die Weltlinie eines Lichtsignals hat die Steigung 1 bzw. 45°. Flachere Weltlinien können nicht existieren, da nichts schneller sein kann als das Licht.

Im folgenden Minkowski-Diagramm sind neben der Weltlinie eines Lichtsignals W₁ drei weitere Weltlinien dargestellt, die anschließend erläutert werden:

Minkowski-Diagramm Weltlinien

Erläuterung der Weltlinien:

W₁	Weltlinie eines Lichtsignals
W₂	Weltlinie von Ereignissen am gleichen Ort (ortsgleiche Ereignisse)
W₃	Weltlinie von Ereignissen zur gleichen Zeit (zeitgleiche Ereignisse)
W₄	Weltlinie eines Körpers, der sich mit $v=\frac {2}{3} c$ in positive x-Richtung bewegt. Er startet bei $x=2Ls$ und $t=2,5 s$ .

Der Winkel zwischen der t-Achse und der Weltlinie W₄ ist von der Geschwindigkeit des Körpers abhängig. Es gilt:

$v=\dfrac {\Delta x}{\Delta t}=\dfrac {2}{3}=tan\, \alpha$ Damit ergibt sich für dieses Beispiel ein Winkel von $\alpha=33,7°^{\circ}$ (s. Skizze)

In unserem Koordinatensystem für das Inertialsystem S ist der Körper, zu dem die Weltlinie W₄ gehört, in Bewegung, während sich der Beobachter in S in Ruhe befindet. Wir wollen nun das Koordinatensystem für das Inertialsystem S’ zeichnen, in dem der Körper ruht.

Für dieses Koordinatensystem muss gelten:

Die t’-Achse muss parallel zur Weltlinie W₄ sein (dann ist x’ = konst.).
Für den Winkel zwischen t- und t’-Achse gilt wie für W₄: $tan \, \alpha=\dfrac{v}{c}$
Die x’-Achse muss symmetrisch zu W₁ liegen (c ist in allen Inertialsystemen gleich).

Das folgende Minkowski-Diagramm enthält nun neben den Weltlinien W₁ (Lichtsignal) und W₄ die so konstruierten Achsen t’ und x’. Es ergibt sich statt eines rechtwinkligen Koordinatensystems ein spitzwinkliges Koordinatensystem (für negative Geschwindigkeiten, also für Ausbreitung in negative x-Richtung ergibt sich ein stumpfwinkliges Koordinatensystem):

Minkowski-Diagramm spitzwinklig

Wichtig ist nun folgendes:

Die Längeneinheiten für die Achseneinteilungen unterscheiden sich zwischen S und S’. Wenn wir für eine Sekunde bzw. eine Lichtsekunde in S einen Zentimeter gewählt haben, beträgt die Länge für eine Sekunde bzw. eine Lichtsekunde in S’ nicht auch ein Zentimeter.

Zwischen den Längeneinheiten der Achseneinteilungen e für S und e’ für S’ gilt folgende Beziehung:

$e'=e\cdot \sqrt{\dfrac {1+\frac {v^{2}}{c^{2}}}{1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$ bzw. $e'=e\cdot \sqrt{\dfrac {c^{2}+v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$

Für unsere Beispiel mit $v=\frac {2}{3}c$ und $e=1\, cm$ ergibt sich so

$e'=e\cdot \sqrt{\dfrac {c^{2}+\frac {4}{9}c^{2}}{c^{2}-\frac {4}{9}c^{2}}}$ = $1\, cm\cdot \sqrt{\dfrac {13}{5}}=1,61\, cm$

Die Herleitung der Beziehung zwischen e und e’ findest Du weiter unten.

Die Achsenskalierung für das spitzwinklige Koordinatensystem wurde in der vorherigen Skizze bereits entsprechend vorgenommen.

Nun lassen sich für jedes Ereignis Zeit- und Ortskoordinaten für das jeweilige Bezugssystem bestimmen. Außerdem lassen sich die unterschiedlichen Zeiten und Längen, die in verschiedenen Inertialsystemen gemessen werden, konstruieren.

Längeneinheiten für die Achseneinteilungen in S’

Die Formel für die Längeneinheiten für das Inertialsystem S’ ergibt sich aus folgenden Überlegungen:

Das Inertialsystem S’ bewegt sich relativ zum Beobachter in S mit der Geschwindigkeit v. Die Zeicheneinheit für das System S wird mit e bezeichnet, die gesuchte Zeicheneinheit für das System S’ wird mit e’ bezeichnet:

Innerhalb einer Sekunde in S hat sich das Inertialsystem S’ vom gemeinsamen Ursprung aus in x-Richtung weiterbewegt. Ereignisse zur Zeit t = 1s liegen auf einer Parallelen zur x-Achse.

Wir zeichnen daher eine Parallele bis zum Schnittpunkt mit der t’-Achse. Damit ergibt sich ein Dreieck. Der Abstand der Schnittpunkte der t- und t’-Achse (blau) beträgt nun $e\cdot \dfrac {v}{c}$ .

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich die Hypotenuse X (violett) im Dreieck angeben:

$X=\sqrt {e^{2}+e^{2}\cdot \frac {v^{2}}{c^{2}}}$

Wir ziehen $e^{2}$ aus der Wurzel und erhalten so $X=e\cdot \sqrt {1+\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ (1)

Aufgrund der Zeitdilatation gilt jedoch: Die von S in S’ gemessene Zeit t’ für einen Vorgang ist kleiner als t, also ist die Strecke X kleiner als die gesuchte Längeneinheit e’. Es gilt:

$e'=X\cdot \gamma$ bzw. $X=\dfrac {e'}{\gamma}=e'\cdot \sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}$ (2)

Setzen wir diesen Ausdruck (2) für X gleich mit dem oberen (1), so ergibt sich:

$e\cdot \sqrt {1+\frac {v^{2}}{c^{2}}}=e'\cdot \sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

Umgestellt nach e’ ergibt sich so für die Zeicheneinheit in S’:

$e'=e\cdot \dfrac {\sqrt {1+\frac {v^{2}}{c^{2}}}}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}=e\cdot \(\sqrt {\dfrac {1+\frac {v^{2}}{c^{2}}}{1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Wenn man den Bruch in der Wurzel mit $c^{2}$ erweitert, so ergibt sich die Form

$e'=e\cdot \sqrt {\dfrac {c^{2}+v^{2}}{c^{2}-v^{2}}}$

Zeitdilatation im Minkowski-Diagramm

Um die Zeitdilatation im Minkowski-Diagramm zu überprüfen, wählen wir einen Vorgang, der im Ruhesystem 3 Sekunden dauert. Der Einfachheit halber wählen wir den Start des Ereignisses im gemeinsamen Ursprung bei t = t’ = 0.

Für die Geschwindigkeit zwischen S und S’ wählen wir wie in unseren vorherigen Beispielen $v=\frac {2}{3}c$ .

Minkowski-Diagramm Zeitdilatation

Für den Beobachter in S betrage die Dauer eines Vorgangs $t=3s$ . Um zu ermitteln, welche Zeit ein Beobachter in S’ für den gleichen Vorgang misst, zeichnen wir von der Zeitachse von S (bei der Zeit t = 3s) eine Parallele zur x-Achse (blau), denn alle Vorgänge auf dieser Parallelen finden für den Beobachter in S zur gleichen Zeit statt.

Wir können nun im Schnittpunkt mit der t’-Achse direkt die Zeit ablesen, die in S’ für diesen Vorgang gemessen wird. Sie ist deutlich kleiner als t und beträgt nur ca. 2,2 Sekunden; die Uhren im bewegten System S’ gehen (aus der Sicht von S) langsamer.

Wir können dies noch einmal mit unserer Formel für die Zeitdilatation rechnerisch überprüfen:

Die Zeit t’ beträgt gegenüber t:

$t'=\dfrac {t}{\gamma}=t\cdot \sqrt {1-\frac {v^{²}}{c^{2}}}=\dfrac {3s}{1,34}=2,23s$

Die Berechnung bestätigt damit den Wert, den wir mit Hilfe des Minkowski-Diagramms ermittelt haben.

Natürlich lässt sich nicht hundertprozentig genau zeichnen und ablesen. Es wird daher in der Regel kleine Abweichungen von den berechneten Werten geben. Trotzdem lassen sich die Effekte eindeutig zeigen.

Wie wir wissen, können wir genauso gut annehmen, dass das Inertialsystem S’ das Ruhesystem ist und S sich bewegt. Aus Sicht eines Beobachters in S’ muss sich also ergeben, dass die Zeit in S langsamer vergeht, dass in S für einen Vorgang, der in S’ 3 Sekunden dauert, die (um den Faktor $\gamma$ ) kürzere Zeit gemessen wird.

Um dies zu zeigen, zeichnen wir von der t’-Achse bei $t'=3s$ eine Parallele zur x’-Achse (violett) bis zum Schnittpunkt mit der t-Achse. Wie wir sehen, misst nun der Beobachter in S die kürzere Zeit von ca. 2,2s; die Uhren im bewegten System S gehen (aus der Sicht von S’) langsamer.

Längenkontraktion im Minkowski-Diagramm

Auch die Längenkontraktion lässt sich auf ähnliche Weise zeigen und im Minkowski-Diagramm ablesen.

Ein Körper habe in seinem Ruhesystem die Länge $l=4Ls$ . Ein Beobachter in einem dazu bewegten System misst die kürzere Länge $l_{k}=l\cdot \gamma$ .

Für die in den oberen Beispielen gewählte Geschwindigkeit zwischen S und S’ von $v=\frac {2}{3}$ ergibt sich eine verkürzte Länge von $l_{k}=4Ls\cdot \sqrt {(1-\frac {2}{3})^{2}}=2,98Ls$ .

Minkowski-Diagramm Längenkontraktion

Um die Länge des für einen Beobachter bewegten Objektes zu ermitteln, zeichnen wir von $x'=4Ls$ auf der x’-Achse eine Parallele zur t’-Achse bis zum Schnittpunkt mit der x-Achse (violett), denn alle Ereignisse auf dieser Linie finden für den Beobachter in S’ am gleichen Ort statt.

Wir sehen, dass die in System S gemessene Länge verkürzt ist. Der abgelesene Wert von ca. $l_{k}=3Ls$ bestätigt den oben berechneten Wert.

Nehmen wir das Inertialsystem S’ als ruhend an, so erhalten wir die in S’ gemessene Länge für ein Objekt, welches in S die Länge $l=4Ls$ hat, indem wir von der x-Achse bei $x=4Ls$ aus eine Parallele zur t-Achse zeichnen (blau). Der Schnittpunkt mit der x’-Achse liegt bei $x'=3Ls$ . Ein Beobachter in S’ misst also die verkürzte Länge $l_{k}$ .

weiter mit Addition von Geschwindigkeiten

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