Relativistische Dynamik - relativistischer Impuls und relativistische Masse

Die Relativität der Masse

Wir haben gesehen, dass zwei Grundgrößen der Mechanik – die Länge und die Zeit – aufgrund ihrer Relativität modifiziert werden müssen. Daher ist zu erwarten, dass auch andere Größen, wie Impuls, Energie und Masse, modifiziert werden müssen.

Es lässt sich zeigen, dass der Impulserhaltungssatz auch im relativistischen Bereich seine Gültigkeit behält.

Für den relativistischen Impuls lässt sich herleiten, dass dieser definiert werden muss als

$p=\dfrac {mv}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}=\gamma mv$ . relativistischer Impuls

Relativistische Massenzunahme

Die o.g. relativistische Definition des Impulses wird oft als relativistische (oder auch dynamische) Massenzunahme eines Körpers interpretiert. Damit ließe sich die klassische Form des Impulses beibehalten:

$p=m_{rel}\cdot v$ mit $m_{rel}$ als relativistische Masse

Für die relativistische Masse, die dann mit der Geschwindigkeit wachsen muss, gilt:

$m_{rel}=\dfrac {m_{0}}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$ bzw. $m_{rel}=m_{0}\cdot \gamma$

Dabei wird $m_{0}$ als Ruhemasse eines Körpers bezeichnet. Das ist die Masse, die der Körper in einem Bezugssystem besitzt, in dem er sich in Ruhe befindet. Bewegt sich der Körper innerhalb eines Bezugssystems mit der Geschwindigkeit $v$ , so misst man in diesem Bezugssystem die (größere) relativistische Masse $m_{rel}$ . Die Masse des Körpers scheint sich also mit der Geschwindigkeit zu erhöhen.

Ein Gedankenexperiment verdeutlicht die aus der Impulserhaltung (s.o.) resultierende Massenzunahme:

Ein Meteorit, der auf der Erde einschlägt, erzeugt beim Einschlag einen Schaden, der vom Impuls – also von der Masse und der Geschwindigkeit – des Meteoriten abhängt.

Beobachtet man den Einschlag von einem sich mit hoher Geschwindigkeit senkrecht zur Meteoritenbahn bewegenden Raumschiff, so wird von dort aus die gleiche Strecke des Meteoriten bis zur Erde gemessen, da die Längenkontraktion nur in Bewegungsrichtung auftritt. Vom Raumschiff aus wird aufgrund der Zeitdilatation jedoch eine größere Zeitspanne bis zum Einschlag gemessen, was zu einer kleineren gemessenen Geschwindigkeit führt.

Der Beobachter im Raumschiff sieht also den Meteoriten mit einer kleineren Geschwindigkeit auf der Erde einschlagen – er sieht jedoch die gleiche Zerstörung, denn diese kann nicht vom Beobachter abhängen. Wenn der Impuls also gleich bleibt, dann muss bei geringerer Geschwindigkeit die Masse des Meteoriten aus Sicht des Raumschiffs zugenommen haben.

Hinweis:

Die Begriffe Ruhemasse und relativistische bzw. dynamische Masse werden inzwischen von vielen Physikern kritisch gesehen, da die Masse eine fundamentale Eigenschaft von Materie und damit invariant von der Wahl des Bezugssystems ist.

Einen kritischen Beitrag dazu findest Du hier: http://www.itp.uni-bremen.de/~noack/masse.pdf

In jedem Fall müssen wir bei Verwendung der relativistischen Masse vorsichtig sein, denn wir können sie nicht einfach anstelle der Ruhemasse in Gleichungen wie $F=ma$ oder $E_{kin}=\frac {1}{2}mv^{2}$ einsetzen (während dies mit dem relativistischen Impuls möglich ist).

Wenn wir das tun, erhalten wir keine korrekten Ergebnisse. Ein korrektes Resultat erhält man jedoch, wenn man das zweite Newton’sche Axiom in seiner allgemeinen Form $F=\dfrac {dp}{dt}$ verwendet und darin den realtivistschen Impuls einsetzt.

Die Konsequenz aus der relativistischen Massenzunahme ist, dass sich Körper nicht mit Lichtgeschwindigkeit oder schneller bewegen können. Im Jahre 1974 wurden Experimente durchgeführt, in denen Elektronen mit einer Energie von 20,5 GeV (= 2,05 · 10¹⁰ eV = 3,28 · 10^-9 J) beschleunigt wurden.

Die Berechnung der Geschwindigkeit nach der klassischen Physik mit $E_{kin}=\frac {1}{2}mv^{2}$ führt zu

$v=\sqrt {\dfrac {2E_{kin}}{m_{e}}}=\sqrt {\dfrac {2 \cdot 3,28 \cdot 10^{-9} J}{9,109 \cdot 10^{-31}kg}}=8,49\cdot 10^{10}\frac {m}{s}$ ,

was etwa dem 280-fachen der Lichtgeschwindigkeit entspricht.

Tatsächlich konnte jedoch kein Unterschied zur Lichtgeschwindigkeit gemessen werden. Kein Elementarteilchen kann auf über Lichtgeschwindigkeit beschleunigt werden, was man so interpretieren kann, dass die Masse mit der Geschwindigkeit zunimmt und bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit gegen unendlich geht. Dann ist keine weitere Beschleunigung möglich.

Einen Körper auf $v=c$ zu beschleunigen, würde bedeuten, dass der Körper einen unendlichen Impuls erhielte, wofür unendlich viel Energie erforderlich wäre, was damit unmöglich ist.

Die relativistische Massenzunahme spielt vor allem in Teilchenbeschleunigern eine Rolle – zum einen, weil für eine Erhöhung der Geschwindigkeit von Elementarteilchen immer mehr Energie aufgewendet werden muss, je näher sie der Lichtgeschwindigkeit kommen, zum anderen, weil für die Ablenkung der Teilchen durch Magnetfelder aufgrund der relativistischen Masse entsprechend starke Magnetfelder erforderlich sind.

Bereits bei Beschleunigungsspannungen von 10 kV erreichen Elektronen ca. 20% der Lichtgeschwindigkeit. Der Lorentzfaktor beträgt dann $\gamma=1,021$ . In Beschleunigern werden $\gamma$ -Werte von bis zu $\gamma=50.000$ erreicht.

Energie Masse Äquivalenz

Jeder kennt diese Formel – doch was bedeutet sie?

Äquivalenz von Masse und Energie

Aus der relativistischen Massenzunahme folgt:

Wird ein Körper beschleunigt, so erhöht sich seine Energie. Bei sehr hohen Geschwindigkeiten muss für eine Erhöhung der Geschwindigkeit um den gleichen Betrag immer mehr Energie aufgebracht werden. Nur ein Teil dieser Energie führt zur Beschleunigung, der andere Teil führt zur Massenzunahme. Um Lichtgeschwindigkeit zu erreichen, wäre die benötigte Energie unendlich groß.

Das bedeutet:

Jede Energieänderung eines Körpers entspricht einer Massenänderung und umgekehrt. Das führt zu der Annahme, dass Masse eine Form von Energie ist.

Massenänderung $\Delta m$ und Energieänderung $\Delta E$ sind zueinander proportional: $\Delta E \sim \Delta m$ .

Aus der Energieerhaltung, die auch im relativistischen Bereich gültig ist, ergibt sich der Zusammenhang

$E=E_{kin}+mc^{2}$ .

Dabei ist $E=\gamma\cdot mc^{2}$ die Gesamtenergie $E$ des Körpers und $m$ gleich der Ruhemasse $m_{0}$ .

Somit kann man für die Ruheenergie eines Teilchens schreiben:

$E_{0}=m_{0}c^{2}$

Zwischen Gesamtenergie $E$ und dynamischer Masse $m$ eines bewegten Teilchens gilt:

$\boldsymbol {E=mc^{2}}$

Dies ist die berühmte Formel von Einstein, die die Äquivalenz zwischen Masse und Energie ausdrückt.

Für ruhende Körper entspricht die Masse $m$ der Ruhemasse $m_{0}$ , für bewegte Körper setzt man die relativistische Masse $m=m_{rel}=\gamma \cdot m_{0}$ ein.

Äquivalenz von Masse und Energie

Die Gesamtenergie eines Körpers und seine dynamische Masse sind zueinander proportional.

Masse und Energie sind äquivalent.

Es gilt: $\boldsymbol {E=mc^{2}}$

Die Gesamtenergie ist die Summe aus Ruheenergie $E_{0}=m_{0}c^{2}$ und kinetischer Energie $E_{kin}$ :

$E=E_{0}+E_{kin}$

mit $E_{kin}=(m-m_{0})c^{2}=m_{0}c^{2} \left( \dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}-1 \right)=E_{0} \left( \gamma-1 \right)$

Die praktische Bedeutung dieser Gleichung war zunächst unklar. Mathematisch ergibt sich daraus, dass jedem Teilchen mit einer Ruhemasse ein bestimmter Energiebetrag zugeschrieben werden kann und andererseits, dass jedem Objekt, das Energie besitzt, eine Masse zugeordnet werden kann – also beispielsweise auch Licht.

Aus der Formel ergibt sich, dass bereits eine kleine Massenänderung einem großem Energiebetrag entspricht. Sollte es also möglich sein, eine Masse von einem Gramm in Energie umzuwandeln, so entspräche das einem Energiebetrag von

$E=0,001kg\cdot \left( 299792458 \frac {m}{s}\right)^{2}=8,99\cdot 10^{13}J$

Das sind $2,5\cdot 10^{7}kWh$ . Dieser Betrag würde ausreichen, um einen 3-Personen-Haushalt ca. 7000 Jahre mit elektrischer Energie zu versorgen.

Berechnung der Geschwindigkeit von Elektronen im Teilchenbeschleuniger

Werden Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung beschleungt, so lässt sich die Geschwindigkeit der Elektronen klassisch mit dem Ansatz der Energieerhaltung lösen:

$E_{el}=E_{kin}$ $\Leftrightarrow$ $U_{B}\cdot e=\frac {1}{2}m_{e}v^{2}$

Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit der bekannte Zusammenhang: $v=\sqrt {\dfrac {2U_{B}e}{m_{e}}}$

Bei einer Beschleunigungsspannung von ca. $U_{B}=2,5kV$ beträgt die Geschwindigkeit jedoch bereits knapp 10% der Lichtgeschwindigkeit. Der Fehler bei der Berechnung der Geschwindigkeit beträgt dann knapp 0,4%.

Bei Beschleunigungsspannungen ab etwa $U_{B}=7,5kV$ beträgt der Fehler bei der Berechnung der Geschwindigkeit über 1%. Bei deutlich höheren Beschleunigungsspannungen muss daher relativistisch gerechnet werden.

Die Energie, die Elektronen in einem Teilchenbeschleuniger erhalten, beträgt mehrere GeV. Im Ringbeschleuniger des Teilchenbeschleunigers DESY in Hamburg werden Elektronen beispielsweise mit 7,4 GeV beschleunigt, im Tunnel von HERA beträgt die Energie der Elektronen bis zu 27,5 GeV.

Mit der klassischer Berechnung (so.) würden sich Geschwindigkeiten ergeben, die einem Vielfachen der Lichtgeschwindigkeit betragen (bei E = 27,5 GeV ergibt sich für die Geschwindigkeit v = 328 c).

Für sehr hohe Geschwindigkeiten ist die klassische Formel für die kinetische Energie $E_{kin}=\frac {1}{2}mv^{2}$ nicht mehr gültig!

Relativistische Berechnung der Geschwindigkeit

Für die relativistische Berechnung der Geschwindigkeit wählen wir folgenden Ansatz:

Die Gesamtenergie $E$ ist die Summe aus Ruheenergie $E_{0}$ und kinetischer Energie $E_{kin}$ :

$E=E_{0}+E_{kin}$

Damit ergibt sich für die relativistische kinetische Energie:

$E_{kin}=E-E_{0}$ bzw. $E_{kin}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

Dabei ist $m=$ relativistische Masse und $m_{0}=m_{e}=$ Ruhemasse (eines Elektrons)

Die kinetische Energie entspricht der Energie des elektrischen Feldes:

$E_{el}=Ue$ mit $U=U_{B}$ (s.o.)

Wir wählen also wieder den Ansatz der Energieerhaltung

$E_{el}=E_{kin}$ ,

nur dass wir nun die relativistische kinetische Energie (s.o.) einsetzen. Damit ergibt sich:

$Ue=mc^{2}-m_{0}c^{2}$

Die relativistische Masse $m$ erhält man aus Ruhemasse $m_{0}$ und dem Lorentzfaktor $\gamma$ :

$m=\gamma \cdot m_{0}=\dfrac {m_{0}}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Damit ergibt sich:

$Ue=\gamma \cdot m_{0}c^{2}-m_{0}c^{2}$ $\vert \, m_{0}c^{2}$ ausklammern

$Ue=m_{0}c^{2}(\gamma-1)$ $\vert \, :(m_{0}c^{2})$ , $\gamma=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Division durch $m_{0}c^{2}$ und Einsetzen von $\gamma$ führt zu

$\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}-1$ $\vert \, +1$ $\vert \, (\,)^{2}$

Nun addieren wir 1 und quadrieren anschließend die Gleichung:

$\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}=\dfrac {1}{1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}$

Nun bilden wir den Kehrwert, multiplizieren anschließend mit (-1) und addieren 1:

$\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}}=1-\dfrac {v^{2}}{c^{2}}$ $\vert \, \cdot (-1)$

$-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}}=\dfrac {v^{2}}{c^{2}}-1$ $\vert \, +1$ , Seiten vertauschen

$\dfrac {v^{2}}{c^{2}}=1-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}}$ $\vert \, \cdot c^{2}$ $\vert \, \sqrt{}$

Multiplikation mit $c^{2}$ und anschließendes Wurzel ziehen führt schließlich zur gesuchten relativistischen Geschwindigkeit:

$v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}}}$

Vereinfachung für große kinetische Energien

Ist die kinetische Energie deutlich größer als die Ruheenergie, so lässt sich die Berechnung vereinfachen. Der Term unter der Wurzel $\dfrac{Ue}{m_{0}c^{2}}$ ist das Verhältnis zwischen kinetischer Energie und Ruheenergie:

$\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}=\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}$ Damit gilt: $v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}\right)^{2}}}$

Die Ruheenergie eines Elektrons beträgt $\boldsymbol {E_{0}}=m_{e}c^{2}=\boldsymbol {511keV}$ .

Ist die kinetische Energie, wie z.B. im Teilchenbeschleuniger, deutlich größer als die Ruheenergie, so ergibt sich für den Quotienten ein sehr großer Wert. Die Addition mit 1 unter dem Bruchstrich lässt sich dann vernachlässigen, so dass sich vereinfacht ergibt:

$v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\left(\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}\right)^{2}}}$ bzw. $v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\dfrac {(E_{kin})^{2}}{(E_{0})^{2}}}}$

Der Doppelbruch lässt sich leicht auflösen, und man erhält für die relativistische Geschwindigkeit den vereinfachten Ausdruck

$v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {(E_{0})^{2}}{(E_{kin})^{2}}}$ bzw. $v=c\cdot \sqrt {1-\left(\dfrac {E_{0}}{E_{kin}}\right)^{2}}$

Beispielrechnung

Wir setzen für die kinetische Energie den Wert 7,5 GeV ein und verwenden die vereinfachte Formel.

Damit ergibt sich

$v=c \cdot \,\sqrt {1-\left(\dfrac {511keV}{7,5GeV}\right)^{2}}=c \cdot\, \sqrt {1-\left(\dfrac {5,11\cdot 10^{5}eV}{7,5\cdot 10^{9}eV}\right)^{2}}$

Der Wert der Klammer ist das Verhältnis zwischen Ruheenergie und kinetischer Energie. Es ergibt sich:

$v=c \cdot \,\sqrt {1-4,64\cdot 10^{-9}}=0,999\, 999\, 998\, c$

(Beachte, dass die Energien mit einheitlichen Präfix gewählt werden müssen, also entweder beide Energien in keV oder GeV oder wie oben gezeigt mit 10er-Potenz-Schreibweise.)

Wir erhalten erwartungsgemäß eine Geschwindigkeit, die sehr nahe an aber unterhalb der Lichtgeschwindigkeit ist.

Hinweis:

Der Quotient $\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}$ beträgt für die eingesetzte kinetische Energie von 7,5 GeV:

$\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}=\dfrac {7,5\cdot 10^{9}}{5,11\cdot 10^{5}}=14\,677$

(Das bedeutet, die kinetische Energie ist 14.677 mal größer als die Ruheenergie; die Gesamtenergie unterscheidet sich also praktisch nicht von der kinetischen Energie.)

Es ist so also völlig unerheblich, ob wir nun noch den Wert 1 hinzuaddieren oder nicht.

Die vereinfachte Formel lässt sich bei derartig hohen kinetischen Energien also praktisch ohne Genauigkeitsverlust anwenden.

Relativistische Geschwindigkeitsberechnung

Für hohe kinetische Energien ist die Formel $E_{kin}=\frac {1}{2}mv^{2}$ nicht mehr anwendbar.

Die relativistische kinetische Energie beträgt

$E_{kin}=mc^{2}-m_{0}c^{2}$ mit $m$ = relativistische Masse ( $m=\gamma\cdot m_{0}$ )

Werden geladene Teilchen mit der Ladung $e$ in elektrischen Feldern beschleunigt,

so gilt für die Energieerhaltung:

$E_{el}=E_{kin}=Ue$

Für die relativistische Geschwindigkeit gilt

$v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {Ue}{m_{0}c^{2}}\right)^{2}}}$ bzw. $v=c\cdot \sqrt {1-\dfrac {1}{\left(1+\dfrac {E_{kin}}{E_{0}}\right)^{2}}}$

Für große kinetische Energien ( $E_{kin}>>E_{0}$ ) lässt sich die Formel vereinfachen:

$v=c\cdot \sqrt {1-\left(\dfrac {m_{0}c^{2}}{Ue}\right)^{2}}$ bzw. $v=c\cdot \sqrt {1-\left(\dfrac {E_{0}}{E_{kin}}\right)^{2}}$

Die kinetische Energie ist gleich der Ruheenergie, wenn diese 511 keV beträgt, also wenn ein Teilchen mit der Ladung $e$ mit 511 keV beschleunigt wird.

Die Gesamtenergie entspricht dann dem doppelten Wert der Ruheenergie:

$E=2\cdot E_{0}=2\cdot m_{0}c^{2}$

Für die Gesamtenergie gilt außerdem:

$E=mc^{2}=\gamma \cdot m_{0}c^{2}$

Das bedeutet, der Lorentzfaktor muss 2 betragen:

$2=\dfrac {1}{\sqrt {1-\frac {v^{2}}{c^{2}}}}$

Die Geschwindigkeit, die sich daraus ergibt, beträgt $v=0,886\, c$

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