Ermittlung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit

Die Geschwindigkeit eines harmonischen Oszillators ändert sich ständig. Dabei gilt:

- Am größten ist die Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage.

- In den Umkehrpunkten ist die Geschwindigkeit 0.

- In den Umkehrpunkten kehrt sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit um.

Um die Geschwindigkeit für einen bestimmten Ort bzw. Zeitpunkt zu ermitteln, bedienen wir uns erneut dem Zusammenhang zwischen einer gleichförmigen Kreisbewegung und einer harmonischen Schwingung:

Harmonischer Oszillator_Geschwindigkeit

Die Bahngeschwindigkeit bei der Kreisbewegung beträgt

v=\omega r=\dfrac {2\pi r}{T}

Aus der Skizze geht hervor, dass die Geschwindigkeit bei der Schwingung dem senkrechten Anteil der Bahngeschwindigkeit entspricht. Wir nennen sie daher vy.

Für den Zusammenhang zwischen der Bahngeschwindigkeit v und der Komponente vy gilt:

v_{y}=v\cdot cos\varphi

Die Geschwindigkeit vy kann höchstens so groß sein wie die Bahngeschwindigkeit. Dafür muss gelten: cos\varphi=1. Das ist beim Phasenwinkel von \varphi=0 oder \varphi=\pi der Fall, also jeweils in der Ruhelage.

Wie ändert sich die Geschwindigkeit mit der Zeit?

Für den zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit vy ergibt sich

v_{y}(t)=v_{max}\cdot cos\varphi=v_{max}\cdot cos\, \omega t

Die Geschwindigkeits-Zeit-Funktion ist also eine Kosinusfunktion.

Diese ist gegenüber der Sinusfunktion, also der Funktion y(t), phasenverschoben, und zwar um den Phasenwinkel \varphi=\dfrac {\pi}{2} bzw. um \dfrac {T}{2}.

Das folgende Diagramm zeigt gleichzeitig den Verlauf der Auslenkung y (rot) sowie der Geschwindigkeit v (grün) eines Federpendels, aufgenommen mit einem Ultraschallsensor:

Auslenkung-Geschwindigkeit-Schwingung

Der Verlauf zeigt, dass die Geschwindigkeit jeweils bei maximaler Auslenkung (also in den Umkehrpunkten) 0 ist und ihr Vorzeichen wechselt.

Maximale Geschwindigkeit vmax

Die Geschwindigkeit erreicht ihren maximalen Wert jeweils in der Gleichgewichtslage, also bei y = 0.

Die maximale Geschwindigkeit v_{max} entspricht dabei der Bahngeschwindigkeit bei der Kreisbewegung.

Es gilt also wie für die Bahngeschwindigkeit

v_{max}=\dfrac {2\pi r}{T}        anders geschrieben:     v_{max}=\dfrac {2\pi}{T}\cdot r

Der Radius r entspricht dabei der Amplitude ymax.

Damit ergibt sich:

v_{max}=\dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max}

mit \dfrac {2\pi}{T}=\omega   gilt also

v_{max}=\omega\cdot y_{max}

Damit gilt für die Geschwindigkeit eines harmonischen Oszillators in Abhängigkeit von der Zeit:

v(t)=\omega\cdot y_{max}\cdot cos\, \omega t

Der Kosinusterm cos\, \omega t kann maximal den Wert 1 bzw. -1 annehmen. Das ist für den Phasenwinkel \varphi=\omega t=0  bzw.  \varphi=\pi der Fall. Dann ist v = vmax (bzw. v = -vmax), und die Geschwindigkeit lässt sich einfach berechnen, indem man den Kosinusterm weglässt:

v_{max}=\omega\cdot y_{max}        bzw.        v_{max}=\dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max}   (s.o.)

Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz für eine harmonische Schwingung lautet:

v(t)=\omega\cdot y_{max}\cdot cos\omega t

Die maximale Geschwindigkeit wird in der Ruhelage erreicht. Sie beträgt

v_{max}=\omega\cdot y_{max}     bzw.     v_{max}=\dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max}

(Bewegt sich der Oszillator entgegen der positiven y-Richtung, ist die Geschwindigkeit negativ. Der Betrag ist jedoch der gleiche.)

Geschwindigkeit als Ableitung der Strecke nach der Zeit

Die Geschwindigkeitsfunktion lässt sich auch mathematisch herleiten. Da wir bereits die Funktion der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit y(t) kennen, können wir daraus einfach auf die Geschwindigkeitsfunktion v(t) schließen, denn:

Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Strecke nach der Zeit.

Wenn Dir dieser Zusammenhang nicht bereits klar ist, dann lies die folgenden Informationen über die Änderung physikalischer Größen:

Änderung physikalischer Größen

Mit der Ableitung bestimmt man die Steigung im Koordinatensystem.

Die Steigung im s-t-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit.

Es gilt:   \dfrac {\Delta s}{\Delta t}=v

Bei einer gleichförmigen Bewegung lässt sich die Steigung auch mit einem Steigungsdreieck bestimmen, da die Steigung und damit die Geschwindigkeit konstant ist.

Dann gilt:    \dfrac {\Delta s}{\Delta t}=konst     bzw.     \dfrac {s}{t}=v=konst.

sowie das Weg-Zeit-Gesetz der gleichförmigen Bewegung

s=vt

Bei nicht gleichförmigen Bewegungen ändert sich die Geschwindigkeit und damit die Steigung.

Zur Berechnung der Steigung bilden wir die erste Ableitung der Weg-Zeit-Funktion nach t und erhalten so die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t.

Bildet man die erste Ableitung der Strecke nach der Zeit \left[ s\left( t\right) =vt\right], erhält man

\dot s(t)=v

(Die Ableitung wird in der Physik durch einen Punkt über der abgeleiteten Größe gekennzeichnet. Für die zweite Ableitung verwendet man zwei Punkte.)

Die erste Ableitung der Strecke nach der Zeit ist also die Geschwindigkeit!

In einem v-t-Diagramm ergibt sich für eine gleichförmige Bewegung eine Gerade, die parallel zur t-Achse verläuft - die Geschwindigkeit hat einen konstanten Wert und ändert sich nicht.

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ergibt sich eine Gerade mit einer Steigung, die umso größer ist, je größer die Beschleunigung ist.

Die Beschleunigung ist ja definiert als Änderung der Geschwindigkeit mit der Zeit:

a=\dfrac {\Delta v}{\Delta t}

Die Steigung im v-t-Diagramm entspricht also der Beschleunigung und damit der ersten Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit bzw. der zweiten Ableitung der Strecke nach der Zeit:

Für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz

v=at    bzw.    v(t)=at

Abgeleitet nach t ergibt sich:

\dot v(t)=a

Die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung!

Da wir die Geschwindigkeit bereits aus der ersten Ableitung der Strecke nach der Zeit erhalten haben, gilt außerdem:

Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung der Strecke nach der Zeit.

Das ergibt sich auch aus dem Weg-Zeit-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung:

s=\frac {1}{2}at^{2}    bzw.    s(t)=\frac {1}{2}at^{2}

Die erste Ableitung lautet

\dot s(t)=at     - dies ist die Geschwindigkeit

Die zweite Ableitung lautet

\ddot s(t)=a     - also die Beschleunigung

Mit der Ableitung einer physikalischen Größe erhalten wir also jeweils die Änderungsrate dieser Größe.

Die Änderungsrate einer physikalischen Größe erhält man mit der Ableitung dieser Größe nach der Zeit.

Die Geschwindigkeit v erhält man aus der ersten Ableitung der Strecke s nach der Zeit t:

v(t)=\dot s(t)

Die Beschleunigung erhält man aus der ersten Ableitung der Geschwindigkeit v nach der Zeit t:

a(t)=\dot v(t)

Damit gilt auch:

Die zweite Ableitung der Strecke nach der Zeit ergibt die Beschleunigung:

a(t)=\dot v(t)=\ddot s(t)

Wir wenden nun diese Zusammenhänge auf unsere Schwingungsgleichung an:

Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Ableitung der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit.

Die Schwingungsgleichung lautet:

y(t)=y_{max}\cdot sin\, \omega t

Die erste Ableitung und damit die Funktion der Geschwindigkeit lautet:

v(t)=\dot y(t)=\omega\cdot y_{max}\cdot cos\, \omega t

Genau dieses Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz (s.o.) hatten wir bereits zuvor auf anderem Weg gefunden.

Beschleunigung eines harmonischen Oszillators

Auf die gleiche Art ermitteln wir nun die Beschleunigung.

Die Beschleunigung erhält man aus der Ableitung der Geschwindigkeit bzw. aus der zweiten Ableitung der Auslenkung nach der Zeit.

Damit gilt:

a(t)=\dot v(t)=\ddot y(t)=-\omega^{2}\cdot y_{max}\cdot sin\, \omega t

Auch diese Funktion hatten wir bereits (wesentlich aufwändiger!) bei der Herleitung der Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators gefunden.

Hinweis:

Für die Ableitungen dieser Funktionen muss man die Kettenregel anwenden.

Dafür multipliziert man die innere Ableitung mit der äußeren Ableitung.

Beispiel:  Ableitung von  y(t)=y_{max}\cdot sin\, \omega t

Die äußere Funktion ist sin, die Ableitung ist cos.

Die innere Funktion ist \omega t, die Ableitung ist \omega.

Der Faktor y_{max} bleibt erhalten - man erhält also für die Ableitung

\dot y(t)=\omega\cdot y_{max}\cdot cos\, \omega t

Wenn wir diese Funktion noch einmal ableiten, bleibt der Faktor \omega\cdot y_{max} erhalten.

Die äußere Funktion ist cos, die Ableitung ist -sin.

Die innere Funktion ist \omega t, die Ableitung ist \omega.

Die zweite Ableitung lautet also

\ddot y(t)=-\omega^{2}\cdot y_{max}\cdot sin\, \omega t=\dot v(t)=a(t)

Wir haben so nun auf einfache Weise auch das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ermittelt:

Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für harmonische Schwingungen lautet:

a(t)=-\omega^{2}\cdot y_{max}\cdot sin\, \omega t

Der Term y_{max}\cdot sin\, \omega t ist gleich der Funktion y(t).

Damit lässt sich die Funktion der Beschleunigung auch kürzer schreiben als

a(t)=-\omega^{2}\cdot y(t)

Mit Hilfe dieser Gesetze für v(t) und a(t) lassen sich nun für jeden Zeitpunkt t neben der Auslenkung auch die Geschwindigkeit und Beschleunigung berechnen.

Beispielaufgabe:

Ein Federpendel schwingt mit der Periodendauer T = 0,6 Sekunden, die Amplitude beträgt ymax = 10cm.

Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Pendelkörper in der Ruhelage auf dem Weg nach oben in positive y-Richtung.

Fragen:

a) Wo befindet sich der Pendelkörper nach einer Sekunde?

b) In welche Richtung bewegt er sich, und wie groß sind Geschwindigkeit und Beschleunigung zu diesem Zeitpunkt?

c) Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Pendelkörper in der Ruhelage?

Lösung:

a) Hierfür brauchen wir das Weg-Zeit-Gesetz für harmonische Schwingungen:

Für die Auslenkung gilt

y(t)=y_{max}\cdot sin\, \omega t

bzw.

y(t)=y_{max}\cdot sin\dfrac {2\pi}{T}t

Wir setzen die Werte ein, die in der Aufgaben angegeben sind:

y(1s)=10cm\cdot sin \left( \dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 1s \right)=-8,66cm

Der Pendelkörper befindet sich also 8,66cm unterhalb der Ruhelage.

b) Nun benötigen wir die hergeleiteten Formeln für die Geschwindigkeit und Beschleunigung.

Für die Geschwindigkeit gilt:

v(t)=\omega\cdot y_{max}\cdot cos\, \omega t

bzw.

v(t)=\dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max}\cdot cos\dfrac {2\pi}{T}t

Werte einsetzen und ausrechnen liefert:

v(1s)=\dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 0,1m\cdot cos \left( \dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 1s \right) =-0,52\dfrac{m}{s}

Die Geschwindigkeit ist negativ, der Pendelkörper bewegt sich also nach unten mit einer Geschwindigkeit von 0,52 m/s.

Hinweis:

Der Cosinusterm  cos \left( \dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 1s \right)  ergibt -0,5.

Der Term \omega\cdot y_{max} bzw. \dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max} entspricht der maximalen Geschwindigkeit v_{max}.

Die gesuchte Geschwindigkeit entspricht also der Hälfte der maximalen Geschwindigkeit.

Da die Bewegung zum Zeitpunkt t = 0 nach oben geht und dort gilt v = vmax, bewegt sich der Pendelkörper bei negativen Werten für v nach unten.

Für die Beschleunigung gilt:

a(t)=-\omega^{2}\cdot y_{max}\cdot sin\, \omega t

bzw.

a(t)=-\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi}{T}t

Werte einsetzen ergibt

a(t)=-\left( \dfrac {2\pi }{0,6s}\right) ^{2}\cdot 0,1m\cdot sin \left( \dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 1s \right)=9,5\dfrac {m}{s^{2}}

Die Beschleunigung beträgt also 9,5 m/s2.

Dass die Beschleunigung positiv ist, ist aufgrund der Ergebnisse für Auslenkung und Geschwindigkeit plausibel: Der Pendelkörper befindet sich unterhalb der Ruhelage und bewegt sich nach oben - er wird also bis zur Ruhelage schneller.

c) In der Ruhelage hat die Geschwindigkeit ihren maximalen Wert.

Für die maximale Geschwindigkeit gilt:

v_{max}=\omega\cdot y_{max}  bzw.  v_{max}=\dfrac {2\pi}{T}\cdot y_{max}

Werte einsetzen liefert

v_{max}=\dfrac {2\pi}{0,6s}\cdot 0,1m=1,047\dfrac {m}{s}

Je nachdem, ob sich der Pendelkörper nach oben oder nach unten bewegt, ist die Geschwindigkeit positiv oder negativ.

Die Geschwindigkeit in der Ruhelage beträgt 1,047m/s bzw. -1,047m/s.

Hinweis:

Da wir in Aufgabenteil b) bereits die Hälfte von vmax ermittelt hatten, hätten wir diesen Wert nun auch einfach mit 2 multiplizieren können.