Wovon hängt die Schwingungsdauer eines Federpendels ab?

Wie wir im letzten Abschnitt nachgewiesen haben, führt ein Federpendel eine harmonische Schwingung aus. Nun wollen wir überlegen, wie sich die Schwingungsdauer eines Federpendels berechnen und damit vorherbestimmen lässt.

Dazu müssen wir zunächst die Größen finden, von denen die Schwingungdauer eines Federpendels abhängt.

Offensichtlich hängt die Schwingungsdauer eines Federpendels von folgenden Größen ab:

- Angehängte Masse m

- Federhärte D

Wir haben bereits folgende Zusammenhänge ermittelt:

Je größer die angehängte Masse, umso größer die Schwingungsdauer

(Grund: Eine größere Masse kann von der Feder nicht so schnell beschleunigt werden.)

Je größer die Federhärte, desto kleiner die Schwingungsdauer

(Grund: eine härtere Feder zieht die Masse mit größerer Kraft und damit schneller in Richtung Ruhelage.)

Nicht ganz so offensichtlich ist die Antwort auf die Frage:

Hängt die Schwingungsdauer auch von der Amplitude ab?

Bei größerer Amplitude muss die Masse schließlich einen größeren Weg zurücklegen. Andererseits ist bei größerer Auslenkung die Kraft auf die Masse größer, was zu einer größeren Beschleunigung und zu größeren Geschwindigkeiten führt. Unter Umständen gleichen sich beide Faktoren aus.

Eine Überprüfung, bei der die Schwingungsdauer eines Federpendels für verschiedene Auslenkungen gemessen wird, ergibt:

Die Schwingungsdauer eines Federpendels hängt nicht von der Auslenkung ab, sondern nur von der Federkonstanten und der Masse des Pendelkörpers.

Schwingungsdauer eines Federpendels - Herleitung

Um eine Formel für die Schwingungsdauer zu finden, überlegen wir uns zunächst, was wir alles über das Federpendel wissen:

Es gilt das Hookesche Gesetz:     F=-Ds   bzw.   F=-Dy

Da die Auslenkung bei einer Schwingung nicht konstant ist sondern sich ständig ändert, muss sich auch die Kraft ständig ändern. Die Kraft F ist also wie die Auslenkung y eine zeitabhängige Größe.

Die momentane Auslenkung beträgt

y(t)

Die momentane Kraft beträgt:

F(t)

Für die Kraft in Abhängigkeit von der Zeit gilt also:        F(t)=-Dy(t)

Die Funktion der Auslenkung in Abhängigkeit von der Zeit y(t) für eine harmonische Schwingung kennen wir bereits - sie wird durch die Gleichung für harmonische Schwingungen beschrieben.

Die Gleichung für harmonische Schwingungen lautet:

y(t)=y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi t}{T}        bzw.        y(t)=y_{max}\cdot sin \omega t

Damit gilt für die Kraft in Abhängigkeit von der Zeit F(t)=-Dy(t):

F(t)=-D\cdot y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi t}{T}     (1)

bzw.

F(t)=-D\cdot y_{max}\cdot sin \omega t

Die Kraft F führt zu einer Beschleunigung a des Pendelkörpers. Ändert sich die Kraft, so ändert sich auch die Beschleunigung. Die Beschleunigung ist daher nicht konstant, sondern ändert sich ebenfalls mit der Zeit.

Den Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung beschreibt die Grundgleichung der Mechanik:

F=m\cdot a

Da sowohl Kraft als auch Beschleunigung zeitabhängige Größen sind (s.o.), können wir schreiben:

F(t)=m\cdot a(t)

Setzen wir diesen Ausdruck für die Kraft in die Gleichung (1) ein, erhalten wir:

m\cdot a(t)=-D\cdot y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi t}{T}     (2)

bzw.

m\cdot a(t)=-D\cdot y_{max}\cdot sin \omega t

Die unbekannte Größe in dieser Gleichung ist die Beschleunigung. Um diese zu ermitteln, bedienen wir uns noch einmal dem Zusammenhang zwischen einer gleichförmigen Kreisbewegung und einer harmonischen Schwingung (s. Herleitung der Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen).

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung gibt es auch eine Beschleunigung, nämlich die Zentripetalbeschleunigung az. Diese ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet und konstant.

Für die Zentripetalbeschleunigung gilt:

a_{z}=\omega^{2}r

bzw.

a_{z}=\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot r        mit   \omega=\dfrac {2\pi}{T}

Doch was hat die Zentripetalbeschleunigung einer gleichförmigen Kreisbewegung mit der Beschleunigung bei einer harmonischen Schwingung zu tun?

Antwort: Wie beim Zusammenhang zwischen der Auslenkung y und dem Radius r entspricht die y-Komponente der Zentripetalbeschleunigung der Beschleunigung des Oszillators:

Schwingungsdauer_Beschleunigung

Die y-Komponente der Zentripetalbeschleunigung aändert sich mit dem Winkel \varphi und der Zeit t. Sie entspricht damit der Beschleunigungsfunktion der harmonischen Schwingung a(t).

Aus der Skizze ergibt sich:

Es gilt:     a_{y}=-a\cdot sin\varphi        (a ist dabei die Zentripetalbeschleunigung)

(Das Minuszeichen drückt aus, dass die Beschleunigung der Ordinatenrichtung entgegengerichtet ist.)

Nun setzen wir für die Zentripetalbeschleunigung (s.o.) ein:

a_{z}=\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot r        bzw.        a_{z}=\omega^{2}\cdot r

Der Radius r entspricht bei der Schwingung der Amplitude ymax.

Für den Phasenwinkel gilt:  \varphi=\dfrac {2\pi t}{T}=\omega t.

Damit erhalten wir für die y-Komponente:

a_{y}=-\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi t}{T}

bzw.

 a_{y}=-\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot y_{max}\cdot sin \omega t

Da die y-Komponente der Zentripetalbeschleunigung der zeitabhängigen Beschleunigung eines harmonischen Oszillators entspricht, haben wir "nebenbei" bereits das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz für harmonische Schwingungen gefunden:

a(t)=-\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}\cdot y_{max}\cdot sin \dfrac {2\pi t}{T}

bzw.

a(t)=-\omega^{2}\cdot y_{max}\cdot sin \omega t

Nun setzen wir diesen Zusammenhang für die Beschleunigung a(t) in Gleichung (2) ein und erhalten:

-D\cdot y_{max}\cdot sin\dfrac {2\pi t}{T}=-m\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}y_{max}\cdot sin\dfrac {2\pi t}{T}

Hier lässt sich einiges kürzen - u.a. die Amplitude ymax, was bestätigt, dass die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängt.

Durch Kürzen erhalten wir

D=m\left( \dfrac {2\pi }{T}\right) ^{2}

Diese Gleichung muss nun nach T umgeformt werden. Dazu dividieren wir zunächst durch die Masse und ziehen anschließend die Wurzel:

\sqrt {\dfrac {D}{m}}=\dfrac {2\pi}{T}

Umformen nach T liefert schließlich

T=2\pi \sqrt {\dfrac {m}{D}}

Damit haben wir den gesuchten Zusammenhang gefunden. Die Gleichung bestätigt die experimentell ermittelten Zusammenhänge

- Je größer die Masse, desto größer die Schwingungsdauer

- Je größer die Federkonstante, desto kleiner die Schwingungsdauer

Wir können diese Zusammenhänge nun noch genauer formulieren:

- Verdoppelt sich die Masse, so vergrößert sich die Schwingungsdauer um den Faktor \sqrt {2}.

- Verdoppelt sich die Federhärte, so verkleinert sich die Schwingungsdauer um den Faktor \dfrac {1}{\sqrt {2}}.

Diese Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer gilt übrigens nicht nur für das Federpendel, sondern allgemein für jeden harmonischen Oszillator. Dabei ist D allgemein die sogenannte Richtgröße.

Die Schwingungsdauer eines harmonischen Oszillators beträgt

T=2\pi \sqrt {\dfrac {m}{D}}

Dabei ist D dir Richtgröße.

(Beim Federpendel ist dies die Federkonstante in der Einheit N/m.)