Kreisbewegungen - Größen zur Beschreibung

Die Kreisbewegung

Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn, so führt dieser eine Kreisbewegung aus. Kreisbewegungen spielen in unserem Alltag in verschiedenen Bereichen eine wichtige Rolle.

Da der Körper, der sich auf einer Kreisbahn befindet, nach einer Umrundung wieder seinen Ausgangspunkt erreicht und sich danach die Bewegung periodisch wiederholt, handelt es sich bei einer Kreisbewegung um eine periodische Bewegung.

Die gleichförmige Kreisbewegung

Gegenüber einer linearen Bewegung ändert sich die Bewegungsrichtung, also die Richtung der Geschwindigkeit, ständig.

Die Geschwindigkeit eines Körpers auf einer Kreisbahn bezeichnet man als Bahngeschwindigkeit. Bleibt der Betrag der Geschwindigkeit konstant, spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Gleichförmige Kreisbewegung

Unter einer gleichförmigen Kreisbewegung versteht man die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn, bei der in gleich langen Zeitabschnitten Δt gleich lange Wege Δs zurückgelegt werden.

Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag der Bahngeschwindigkeit konstant, nicht aber die Richtung!

Größen zur Beschreibung von Kreisbewegungen

Für die Beschreibung einer Kreisbewegung dienen neben der Bahngeschwindigkeit folgende Größen:

Umlaufdauer T:

Zeit, die der Körper für einen Umlauf auf der Kreisbahn benötigt (Einheit: $1s$ )

Radius r:

Entfernung des Körpers zum Mittelpunkt der Kreisbahn (Einheit: $1m$ )

Frequenz f:

Anzahl der Umläufe in einer bestimmten Zeiteinheit (Einheit $\dfrac {1}{s}=s^{-1}=1Hz$ )

Die Frequenz ergibt sich aus dem Kehrwert der Umlaufdauer: $f=\dfrac {1}{T}$

Beispiel: Beträgt die Umlaufdauer T = 0,2 Sekunden, so erfolgen 5 Umläufe in einer Sekunde – die Frequenz beträgt also 5Hz:

$f=\dfrac {1}{T}=\dfrac {1}{0,2s}=5s^{-1}=5Hz$

Bestimmung der Bahngeschwindigkeit

Für den Betrag der Bahngeschwindigkeit einer gleichförmigen Kreisbewegung gilt:

$v=\dfrac {\Delta s}{\Delta t}=konst.$

Die Strecke, die der Körper innerhalb der Umlaufdauer T zurücklegt, entspricht dem Umfang des Kreises mit dem Radius r: U = 2π r.

Damit ergibt sich für die Bahngeschwindigkeit

$v=\dfrac {\Delta s}{\Delta t}=\dfrac {2\pi r}{T}$

Die Bahngeschwindigkeit lässt sich auch mit Hilfe der Frequenz ausdrücken:

$v=2\pi rf$

Beispielaufgabe

Als Beispiel zur Anwendung der beschriebenen Größen soll die Bahngeschwindigkeit des Mondes auf seiner Umlaufbahn um die Erde berechnet werden.

Dazu benötigen wir den Bahnradius r sowie die Umlaufdauer T.

Dar Bahnradius entspricht dem Abstand zwischen Erde und Mond. Dieser beträgt im Mittel 384.000km.

Eine Umrundung dauert etwa einen Monat – genau sind es 27,3 Tage.

Damit gilt also:

r = 384.000km

T = 27,3 Tage = 27,3 x 24h = 655,2h

Berechnung der Bahngeschwindigkeit:

$v=\dfrac {2\pi r}{T}=\dfrac {2\pi \cdot 384.000km}{655,2h}=3.682\frac {km}{h}$

Der Mond bewegt sich also mit einer Geschwindigkeit von etwa 3.680km/h um die Erde.

Eine weitere gute Aufgabe zur Übung (mit Lösung) findest Du bei Leifi Physik:

Hubschrauber-Rotor

Die Winkelgeschwindigkeit

Eine weitere Größe, die zur Beschreibung von Kreisbewegungen hilfreich ist, ist die Winkelgeschwindigkeit ω.

Betrachtet man den Zeiger einer Uhr, so bewegen sich verschiedene Punkte auf dem Zeiger mit verschiedenen Bahngeschwindigkeiten. Je größer der Abstand vom Mittelpunkt ist (also je größer der Radius), umso größer die Bahngeschwindigkeit.

Alle Punkte auf dem Zeiger durchschreiten jedoch in der gleichen Zeit den gleichen Winkel.

Die Winkelgeschwindigkeit ω gibt an, welcher Winkel $\varphi$ (im Bogenmaß*) in einer bestimmten Zeit Δt durchschritten wird:

$\omega = \dfrac {\Delta \varphi}{\Delta t}$

Innerhalb einer Umlaufdauer T wird der Winkel $\varphi=2\pi$ durchlaufen.

Damit gilt für die Winkelgeschwindigkeit:

$\omega=\dfrac {2\pi}{T}=2\pi f$

Da für die Bahngeschwindigkeit die Beziehung $v=2\pi rf$ gilt (s.o.), ergibt sich damit:

$v=\omega r$

* Winkel im Bogenmaß

In der Physik werden Winkel meist im Bogenmaß angegeben. Darunter versteht man die Länge des Kreisbogens im Verhältnis zum Bahnradius:

Für einen gesamten Umlauf beträgt der zurückgelegte Weg, und damit die Länge des durchschrittenen Kreisbogens, dem Kreisumfang $2\pi r$ und damit dem $2\pi$ -fachen des Radius.

Der Winkel im Bogenmaß für einen gesamten Umlauf beträgt demnach $\varphi=2\pi$ . Im Gradmaß entspricht das einem Winkel von 360°.

Ein Winkel von 180° (im Gradmaß) entspricht also $\pi$ (im Bogenmaß) usw.

Zusammenfassung aller Größen zur Beschreibung von Kreisbewegungen

Größe	Symbol	Einheit	Bedeutung	Zusammenhang
Umlaufdauer	T	$s$	Zeitdauer für einen Umlauf	$T=\dfrac {1}{f}$
Frequenz	f	$Hz$	Anzahl der Umläufe pro Sekunde	$f=\dfrac {1}{T}$
Bahnradius	r	$m$	Abstand zum Mittelpunkt der Kreisbahn
Bahngeschwindigkeit	v	$\dfrac {m}{s}$	Geschwindigkeit des Körpers auf der Kreisbahn	$v=\dfrac {2\pi r}{T}$ $v=2\pi rf$ $v=\omega r$
Winkelgeschwindigkeit	ω	$\dfrac {1}{s}$	Durchschrittener Winkel (im Bogenmaß) pro Sekunde	$\omega=\dfrac {\Delta \varphi}{\Delta t}$ $\omega=\dfrac {2\pi}{T}$ $\omega=2\pi f$

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