Relativistische Addition von Geschwindigkeiten

In der klassischen Physik lassen sich Geschwindigkeiten einfach addieren. Nach dem Galileischen Addition von Geschwindigkeiten gilt bei gleicher Bewegungsrichtung:

$u=u'+v$

$u$ Geschwindigkeit eines Objektes in System S

$u'$ Geschwindigkeit eines Objektes in System S’

$v$ Relativgeschwindigkeit zwischen System S und S’

Diese Addition würde jedoch dazu führen, dass jede Geschwindigkeit möglich wäre.

Bewegt sich ein Raumschiff beispielsweise mit $u=0,8c$ und schießt dabei eine Rakete in Bewegungsrichtung mit $v=0,6c$ ab, so würde sich als resultierende Geschwindigkeit für einen Beobachter in S die Geschwindigkeit $u=1,4c$ ergeben.

Das widerspricht aber der Tatsache, dass nichts schneller sein kann als das Licht (im Vakuum). Für sehr hohe Geschwindigkeiten ist dieses Gesetz daher nicht anwendbar.

Mit Hilfe der Lorentz-Transformation lässt sich die relativistische Addition von Geschwindigkeiten herleiten.

Für die relativistische Addition von Geschwindigkeiten gilt:

$u=\dfrac {u'+v}{1+\dfrac {u'\cdot v}{c^{2}}}$

$u$ Geschwindigkeit in System S

$u'$ Geschwindigkeit in System S’

$v$ Relativgeschwindigkeit zwischen S und S’

Beispielrechnung

Wir wollen nun mit dieser Formel die resultierende Geschwindigkeit für das o.g. Beispiel berechnen:

Für die Geschwindigkeit gilt: $u'=0,8c$ , $v=0,6c$

$u=\dfrac {0,8c+0,6c}{1+\dfrac {0,8c\cdot 0,6c}{c^{2}}}=\dfrac {1,4c}{1+\dfrac {0,48c^{2}}{c^{2}}}$

Im Nenner lässt sich $c^{2}$ kürzen, und wir erhalten

$u=\dfrac {1,4c}{1,48}=0,946c$

und damit einen kleineren Wert als die Lichtgeschwindigkeit.

Ganz egal, welche Geschwindigkeit wir für $u$ und $v$ einsetzen – es kommt immer ein kleinerer Wert heraus als $c$ .

Bei Geschwindigkeiten $v<<c$ ist der Bruch im Nenner praktisch Null, und damit vernachlässigbar. Dann geht die Formel in die klassische Form (s.o.) über.

Die Relativitätstheorie schließt damit die klassische Physik als Grenzfall mit ein.

Die hier gezeigte Addition von Geschwindigkeiten hat sich bei allen Experimenten mit sehr großer Genauigkeit immer wieder bestätigt – auch wenn sich zwei stoßende Teilchen fast mit Lichtgeschwindigkeit voneinander entfernen.

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