Die Schrödingergleichung und ihre Bedeutung

Die Schrödingergleichung

Erwin Schrödinger

In diesem Abschnitt geht es darum, die Erkenntnisse aus der Quantenmechanik auf ein Atom anzuwenden, und zwar so, dass die Ergebnisse im Einklang mit den vorherigen Überlegungen und experimentellen Ergebnissen stehen.

Werner Heisenberg und Erwin Schrödinger haben weniger als zwei Jahre nach DeBroglies Hypothese über den Wellencharakter von Materie unabhängig voneinander jeweils eine umfassende Theorie entwickelt, die den Welle-Teilchen-Dualismus vereinheitlicht hat. Obwohl beide Ansätze sehr verschieden waren, konnte man bald zeigen, dass sie zueinander kompatibel waren.

Der Ansatz Erwin Schrödingers hat sich dabei als anschaulicher erwiesen und sich daher durchgesetzt.

Um diesen Ansatz und damit die Schrödingergleichung sowie ihre Bedeutung für die Quantenmechanik zu verstehen, wollen wir zunächst einige bereits verwendete Grundannahmen und Interpretationen wiederholen, zusammenfassen und ergänzen.

Grundüberlegungen und Grundannahmen zur Schrödinger-Gleichung

Erwin Schrödinger (1887 – 1961) formulierte 1926 eine Wellenmechanik, die von folgender Vorstellung ausgeht:

Die Ausbreitung bzw. das Verhalten eines Elektrons kann durch eine De-Broglie-Welle mit einer von Zeit und Raum abhängigen Amplitude beschrieben werden.
Einen stationären Zustand eines Elektrons mit einer von der Zeit unabhängigen Amplitudenverteilung kann man sich als eine dreidimensionale stehende Welle vorstellen.
Das Amplitudenquadrat der stehenden Welle liefert für jeden Ort ein Maß für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons.

Schrödinger Gleichung

Bei der Schrödinger-Gleichung handelt es sich um eine Gleichung, die eine der klassischen Wellengleichung ähnlichen Wellenfunktion ( $\psi-Funktion$ ) enthält, mit der sich die Ausbreitung von Teilchen im Raum, oder genauer, die Wahrscheinlichkeit, Teilchen in einem bestimmten Raumvolumen nachzuweisen, beschreiben lässt.

Die Schrödingergleichung kann nicht mathematisch exakt hergeleitet werden. Sie wurde von Schrödinger postuliert und hat sich zur Beschreibung quantenmechanischer Systeme als richtig erwiesen.

Ein Spezialfall der Schrödingergleichung ist die zeitunabhängige Schrödingergleichung, die Systeme beschreibt, bei denen die Funktionswerte $\psi(x)$ bzw. $\psi (r)$ und die potentielle Energie $E_{pot}$ nur vom Ort und nicht von der Zeit abhängen. Solche Zustände werden als stationäre Zustände bezeichnet.

Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung sind (von der Zeit unabhängige) Funktionen $\psi$ . Die Wellenfunktion selbst ist ein abstrakter mathematischer Ausdruck ohne anschauliche Bedeutung. Allerdings hat das Quadrat ihres Betrages $|\psi(x)|^{2}$ eine anschauliche Bedeutung. Es gibt nämlich die Wahrscheinlichkeitsdichte an, das Elektron (zur Zeit t) am Ort x aufzufinden (s.o.).

Die Wahrscheinlichkeit $w(x)$ , das Elektron in einem Raumbereich $\Delta x$ zu finden, beträgt demnach $|\psi(x)|^{2}\cdot \Delta x$ .

Die Schrödingergleichung ist eine Differentialgleichung. Sie enthält, zumindest in der zeitabhängigen Form, die sogenannte imaginäre Einheit $i$ . Zudem wird sie in der Regel (außer in Schulbüchern) mit Hilfe sogenannter Operatoren geschrieben.

Das sieht dann z.B. so aus:

$\left[-\dfrac {\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V(x,t)\right]\psi(x,t)=E\psi(x,t)$

(zeitabhängige eindimensionale Schrödingergleichung)

In ihrer einfachsten Form lässt sich die Schrödingergleichung schreiben als

$\widehat{H}\psi=E\psi$ (stationäre Schrödingergleichung)

Auch wenn es in der Schulphysik nicht üblich ist, diese Schreibweise zu verwenden, und komplexe Zahlen durch Beschränkung auf stationäre Zustände vermieden werden können, so kann es trotzdem nicht schaden, sich einmal damit auseinanderzusetzen. Im Studium bleibt oft nicht die Zeit, sich diese Grundlagen, die dann plötzlich vorausgesetzt werden, anzueignen.

Falls Du daran kein Interesse hast, gelangst Du hier direkt zum Abschnitt

Schrödingergleichung in der Schule

Alle zum Verständnis der Schrödingergleichung in der oben verwendeten Schreibweise notwendigen Grundlagen und Vorkenntnisse findest Du auf der Seite

Grundlagen zum Verständnis der Schrödingergleichung

Dort werden folgende Grundlagen ausführlich erklärt:

1. Klassische Wellengleichung

2. Die Wellenfunktion (Ψ-Funktion)

3. Differentialgleichungen

4. Komplexe Zahlen und Eulersche Formel

5. Operatoren und partielle Ableitungen

Unter Verwendung der o.g. Grundlagen folgt nun eine heuristische Herleitung der Schrödingergleichung.

Anschließend wird die Schrödingergleichung für den zeitunabhängigen Fall in die in Schulbüchern übliche Schreibweise “übersetzt” und für ein einfaches bereits bekanntes Beispiel (den linearen Potentialtopf) gelöst. Wie wir sehen werden, ergeben sich auf diese Weise die gleichen Lösungen, die wir bereits kennen. Zusätzlich lassen sich die Wahrscheinlichkeiten berechnen, ein Elektron im linearen Potentialtopf der Länge $L$ in einem bestimmten Intervall $\Delta x$ anzutreffen.

Als letztes stellen wir die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom auf und diskutieren die Lösungen – auch diese stimmen mit den Vorhersagen von Bohrs Theorie überein!

Die Schrödingergleichung – heuristische Herleitung

Wie bereits beschrieben, ist es nicht möglich, die Schrödingergleichung mathematisch herzuleiten.

Unter einer heuristischen Herleitung versteht man einen Ansatz, mit dem man die Schrödingergleichung für einen speziellen Fall plausibel machen kann. Dafür geht man von Annahmen aus (die sich aus einer oder mehrerer Theorien ergeben), die sich schließlich in Übereinstimmung mit vorherigen Erkenntnissen sowie experimentellen Ergebnissen als richtig erweisen.

Wir gehen zunächst von einer eindimensionalen Wellenfunktion ohne äußeres Potential aus, die analog zur klassischen Wellengleichung lautet:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left[2\pi\left(\dfrac {x}{\lambda}-\dfrac {t}{T}\right) \right]$

oder anders geschrieben:

$\psi(x,t)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {2\pi}{\lambda}\cdot x - \dfrac {2\pi}{T}\cdot t \right)$

Darin ersetzen wir: $\dfrac {2\pi}{T}=\omega$ (Kreisfrequenz) sowie $\dfrac {2\pi}{\lambda}=k$ (Wellenzahl)

Der Einfachheit halber legen wir für die Amplitude fest: $\psi_{0}=1$ . Damit ergibt sich:

$\psi(x,t)=sin\left(kx-\omega t\right)$

Wie wir bereits gezeigt haben (Grundlagen s.o., Abschnitt 3. / 4.), kann man diese Wellenfunktion alternativ als komplexe e-Funktion schreiben:

$\psi(x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$

Die in dieser Funktion auftretenden Größen $k$ (Wellenzahl) und $\omega$ (Kreisfrequenz) sollen nun mit Hilfe der Größen Impuls bzw. Energie ausgedrückt werden. Dazu verwenden wir folgende Zusammenhänge:

1) $\lambda=\dfrac {h}{p}$ bzw. $p=\dfrac {h}{\lambda}$ (DeBroglie)

Mit $\dfrac {2\pi}{\lambda}=k$ bzw. $\lambda=\dfrac {2\pi}{k}$ ergibt sich für den Impuls

$p=\dfrac {h}{2\pi}\cdot k=\hbar k$ und damit für die Wellenzahl

$k=\dfrac {p}{\hbar}$ (1)

2) $E=hf$ (Planck)

Mit $\omega=\dfrac {2\pi}{T}=2\pi f$ und damit $f=\dfrac {\omega}{2\pi}$ ergibt sich für die Energie

$E=\dfrac {h}{2\pi}\cdot \omega=\hbar \omega$ und damit für die Kreisfrequenz

$\omega=\dfrac {E}{\hbar}$ (2)

Wir setzen nun die alternativen Ausdrücke (1) und (2) in die Wellenfunktion ein und erhalten so

$\large {\psi(x,t)=e^{i\left(\frac {p}{\hbar}x-\frac {E}{\hbar}t\right)}=e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}}$

Ableiten der Wellenfunktion nach x

Nun leiten wir diese Funktion (partiell) nach $x$ ab:

$\dfrac {\partial}{\partial x}\psi(x,t)=i\cdot \dfrac {p}{\hbar}\cdot e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}$ | $\cdot \dfrac {\hbar}{i}$

$\dfrac {\hbar}{i} \cdot \dfrac {\partial}{\partial x} \psi(x,t)=p\cdot \underbrace{e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}}_{=\psi(x,t)}$

Dabei ist der Faktor auf der rechten Seite gleich der Wellenfunktion $\psi(x,t)$ (s.o.).

Außerdem gilt: $\dfrac {1}{i}=-i$ . Damit ergibt sich:

$-i\hbar \dfrac {\partial}{\partial x}\psi(x,t)=p\cdot \psi(x,t)$

Damit ist also $-i\hbar\dfrac {\partial}{\partial x}\psi=p\cdot \psi$

In Worten: Die Ableitung der Wellenfunktion nach der Zeit multipliziert mit $-i\hbar$ ist gleich dem Produkt aus Impuls und der Wellenfunktion.

Oder anders ausgedrückt: $-i\hbar\dfrac {\partial}{\partial x}$ angewandt auf die Wellenfunktion ist gleich der Wellenfunktion multipliziert mit dem Impuls.

Das führt zur

Ersetzungsregel 1: $p\rightarrow -i\hbar\dfrac {\partial}{\partial x}$ bzw. $\widehat{p}=-i\hbar\dfrac {\partial}{\partial x}$ ( $\widehat {p}$ = Impulsoperator)

Ableiten der Wellenfunktion nach t

Wir leiten nun die Wellenfunktion (partiell) nach der Zeit $t$ ab:

$\dfrac {\partial}{\partial t}\psi(x,t)=-i\dfrac {E}{\hbar}\cdot e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}$ | $\cdot \dfrac {\hbar}{-i}$

$i\hbar \dfrac {\partial}{\partial t} \psi(x,t)=E \cdot \underbrace {e^{\frac {i}{\hbar}\left(px-Et\right)}}_{=\psi(x,t)}$

Das führt zur

Ersetzungsregel 2: $E\rightarrow i\hbar\dfrac {\partial}{\partial t}$ bzw. $\widehat{E}=i\hbar\dfrac {\partial}{\partial t}$ ( $\widehat {E}$ = Energieoperator)

Bei den Größen Energie $E$ und Impuls $p$ auf der rechten Seite handelt es sich um reale Größen, die man im Experiment messen kann.

Auf der linken Seite steht jeweils eine Rechenvorschrift (Operator), wie man zu $E$ und $p$ kommt.

Den physikalischen Größen $E$ und $p$ werden in der Quantenmechanik die entsprechenden Operatoren zugeordnet.

Energie

Die Gesamtenergie eines Systems ergibt sich aus der Summe der kinetischen und potentiellen Energie:

$E=E_{kin}+E_{pot}$

An die Stelle von $E_{pot}$ tritt in der Quantenmechanik das Potential $V(x,t)$ , welches von Ort und Zeit abhängen kann.

Mit $E_{kin}=\frac {1}{2}mv^{2}=\dfrac {p^{2}}{2m}$ und $E_{pot}\rightarrow V(x,t)$ ergibt sich für die Gesamtenergie

$E=\dfrac {p^{2}}{2m}+V(x,t)$

Multipliziert mit der Wellenfunktion ergibt sich:

${E} \psi(x,t)=\dfrac {p^{2}}{2m}\psi(x,t)+V(x,t)\psi$

Für Energie $E$ und Impuls $p$ wenden wir jeweils die Ersetzungsregeln (s.o.) an und erhalten so die Schrödingergleichung in folgender Form:

$i\hbar\dfrac {\partial}{\partial t}\psi(x,t)=\dfrac {1}{2m}i^{2}\hbar^{2}\dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t)+V(x,t)\psi(x,t)$

Mit $(-i)^{2}=i^{2}=-1$ erhält man

$i\hbar\dfrac {\partial}{\partial t}\psi(x,t)=-\dfrac {\hbar^{2}}{2m}\dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x,t)+V(x,t)\psi(x,t)$

Wir klammern nun die Wellenfunktion $\psi(x,t)$ aus und erhalten so die

eindimensionale zeitabhängige Schrödingergleichung:

$\underbrace {i\hbar\dfrac {\partial}{\partial t}}_{\widehat {E}}\psi(x,t)=\underbrace {\left[ -\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}+V(x,t) \right]}_{\widehat {H}} \psi(x,t)$

Auf der linken Seite steht vor der Wellenfunktion der Energieoperator.

Die Klammer vor der Wellenfunktion auf der rechten Seite ist ebenfalls ein Operator, und zwar der Hamilton-Operator $\widehat {H}$ (s. Grundlagen, Abschnitt Operatoren). Er lässt sich schreiben als

$\widehat {H}=-\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}+V(x,t)$ Hamilton-Operator

oder allgemein mit dem Nabla-Operator als

$\widehat {H}=-\dfrac {\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}+V$

Damit lautet die eindimensionale zeitabhängige Schrödingergleichung

$\widehat {E}\psi(x,t)=\widehat {H}\psi(x,t)$

oder allgemein (für mehrere Dimensionen)

$\widehat {E}\psi=\widehat {H}\psi$

Im Falle eines stationären Zustandes (zeitunabhängig) ist die Ableitung nach der Zeit Null, und wir können schreiben:

$E\psi=\widehat {H}\psi$ zeitunabhängige (stationäre) Schrödingergleichung

Wie man sieht, ist die Schreibweise mit den Operatoren wesentlich kürzer und eleganter – und dazu auch noch allgemeiner. Man kann natürlich nur dann etwas damit anfangen, wenn man weiß, was hinter den Symbolen steckt.

Zurück zur Schulphysik – die Schrödingergleichung in der Schule

In der Schule wird die bisher benutzte Schreibweise daher in der Regel nicht verwendet. Für einfache Fälle lässt sich die Schrödingergleichung auch ohne Kenntnisse von Operatoren, komplexen Zahlen, partiellen Ableitungen etc. schreiben und anwenden. Das sieht dann allerdings nicht mehr so elegant aus.

Schauen wir also nun, wie wir von der oben verwendeten Schreibweise zu der in Schulbüchern üblichen Schreibweise kommen:

Die stationäre eindimensionale Schrödingergleichung lautet (s.o.):

$E\psi(x)=\widehat {H}\psi(x)$

Wir schreiben nun den Hamilton-Operator aus und erhalten

$E\psi(x)=\left[ -\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \nabla^{2}+V(x) \right] \psi(x)$

Schreibt man den Nabla-Operator aus und löst die Klammer auf, so ergibt sich

$E\psi(x)=-\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\, \psi(x)+V(x)\, \psi(x)$ | $-E\psi(x)$

Nun bringen wir alle Terme auf eine Seite und vertauschen die Seiten:

$-\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\, \psi(x)+V(x)\, \psi(x)-E\psi(x)=0$ | $\cdot (-1)$ | $\psi(x)$ ausklammern

Durch Multiplikation mit $(-1)$ und ausklammern von $\psi(x)$ erhält man

$\dfrac {\hbar^{2}}{2m} \dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\, \psi(x) + (E-E_{pot})\, \psi(x)=0$

Das Potential $V(x)$ wurde dabei bereits durch die bekannte Schreibweise $E_{pot}$ ersetzt.

Für die zweite Ableitungsfunktion (nach x) verwenden wir im nächsten Schritt die aus dem Matheunterricht bekannte Schreibweise

$\dfrac {\partial^{2}}{\partial x^{2}}\, \psi(x)=\psi ''(x)$

Außerdem ersetzen wir das reduzierte Wirkungsquantum wieder mit

$\hbar =\dfrac {h}{2\pi}$

So erhalten wir die Schrödingergleichung in der Form, in der man sie in vielen Schulbüchern findet:

$\dfrac {h^{2}}{8 \pi^{2}m}\, \psi ''(x) + (E-E_{pot})\, \psi(x)=0$ | $\cdot \dfrac {8 \pi^{2}m}{h^{2}}$

Die letzte Umformung liefert die Form, wie sie z.B. im Metzler Physik verwendet wird.

Schrödinger-Gleichung in der Schreibweise, wie sie in der Schule verwendet wird:

$\psi''(x) + \dfrac {8 \pi^{2}m}{h^{2}}\, (E-E_{pot})\, \psi(x)=0$ zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

Lösung der Schrödingergleichung für den linearen Potentialtopf

Nun, wo wir die Schrödingergleichung in der in Schulbüchern üblichen Schreibweise vorliegen haben, wollen wir sie für ein einfaches und bekanntes Beispiel lösen:

Die Schrödingergleichung lautet (s.o.): $\psi''(x) + \dfrac {8 \pi^{2}m}{h^{2}}\, (E-E_{pot})\, \psi(x)=0$

Für den linearen Potentialtopf gilt:

Innerhalb des Potentialtopfes mit der Länge $L$ ist die potentielle Energie Null. Die Gesamtenergie ist also gleich der kinetischen Energie.

Mit $E_{pot}=0$ vereinfacht sich die Schrödingergleichung zu

$\psi''(x) + \dfrac {8 \pi^{2}m}{h^{2}}\, E\, \psi(x)=0$ (1)

Wir kennen bereits eine mögliche Lösungsfunktion, nämlich die Wellenfunktion für stehende Wellen:

$\psi(x)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {2\pi x}{\lambda}\right)$

Dabei muss die Bedingung für stehende Wellen mit zwei festen Enden gelten:

$L=n\cdot \dfrac {\lambda}{2}$ bzw. $\lambda=\dfrac {2L}{n}$

Eingesetzt in die Wellenfunktion ergibt sich

$\psi(x)=\psi_{0} \cdot sin \left( \dfrac {\pi x}{L}n\right)$

Wir benötigen auch noch die zweite Ableitung dieser Funktion. Diese lautet:

$\psi ''(x)=-\psi_{0}\, \dfrac {\pi^{2}}{L^{2}}\, n^{2}\cdot sin \left(\dfrac {\pi x}{L}n\right)$

Nun setzen wir die Wellenfunktion sowie ihre zweite Ableitung in die Schrödingergleichung (1) ein:

$-\psi_{0}\, \dfrac {\pi^{2}}{L^{2}}\,n^{2}\cdot sin \left( \dfrac {\pi x}{L}n \right)+\dfrac {8\pi^{2}m}{h^{2}}\cdot E \, \psi_{0}\cdot sin \left( \dfrac {\pi x}{L}n \right)=0$

Es lässt sich $\psi_{0}$ , $\pi^{2}$ sowie der Sinusterm kürzen. Das ergibt:

$\dfrac {8m}{h^{2}}\cdot E-\dfrac {n^{2}}{L^{2}}=0$ | $+\dfrac {n^{2}}{L^{2}}$ | $\cdot \dfrac {h^{2}}{8m}$

Die letzte Umformung liefert schließlich die diskreten Energiewerte im linearen Potentialtopf.

Die eingesetzte Wellenfunktion stellt also eine Lösung der Schrödingergleichung dar für die Bedingung

$E=\dfrac {h^{2}}{8mL^{2}}\cdot n^{2}$

Wir erhalten also die gleichen diskreten Energien wie mit unserer Überlegung im Abschnitt Das Modell des linearen Potentialtopfes.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Nun wollen wir auch noch die Wahrscheinlichkeit berechnen, ein Elektron im linearen Potentialtopf der Länge $L$ in einem bestimmten Teilbereich $\Delta x$ anzutreffen.

Die Wahrscheinlichkeit $w(x)$ entspricht dem Produkt aus dem Quadrat der Wellenfunktion (Wahrscheinlichkeitsdichte) und einem Intervall $\Delta x$ :

$w(x)=|\psi(x)|^{2}\cdot \Delta x$

mit $\psi(x)=\psi_{0}\cdot sin \left(\dfrac {\pi x}{L} n \right)$ und damit $|\psi(x)|^{2}=\psi_{0}^{2}\cdot sin^{2} \left(\dfrac {\pi x}{L} n \right)$

Zur Erinnerung: Es gilt: $sin^{2} \left(\dfrac {\pi x}{L} n \right)$ $=$ $\left( sin\left(\dfrac {\pi x}{L} n \right)\right)^{2}$

Für den Grundzustand $(n=1)$ hat das Quadrat der Wellenfunktion $|\psi(x)|^{2}$ und damit die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in Abhängigkeit vom Ort x folgende Form:

Linearer Potentialtopf Wellenfunktion

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ändert sich also mit dem Ort $x$ und damit für jedes mögliche Intervall $\Delta x$ . Die Fläche des Rechtecks entspricht in etwa der Teilwahrscheinlichkeit des Intervalls $\Delta x$ .

Normierung

Die Summe der Teilwahrscheinlichkeiten für alle möglichen Intervalle $\Delta x$ von $0$ bis $L$ ergibt die gesamte Wahrscheinlichkeit, das Elektron im Bereich der Länge $L$ zu finden.

Nach der Definition des linearen Potentialtopfes (mit unendlich hohen Wänden) kann sich das Teilchen nur innerhalb der Länge $L$ aufhalten. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit innerhalb des gesamten Bereichs der Länge $L$ ist also 1 (oder 100%), außerhalb ist sie 0.

Wir müssen die Amplitude $\psi_{0}$ der Lösungsfunktion daher so wählen, dass diese Bedingung erfüllt wird. Das wird als Normierung bezeichnet.

Teilwahrscheinlichkeiten

Um eine Teilwahrscheinlichkeit in einem Intervall $\Delta x$ zu berechnen, muss der Funktionswert für einen Ort $x$ mit dem Intervall $\Delta x$ multipliziert werden.

Da sich die Wahrscheinlichkeitsdichte innerhalb des Bereichs $\Delta x$ ändert, ordnen wir zur Vereinfachung dem gesamten Bereich $\Delta x$ den Wert $x$ in der Mitte des Intervalls zu und tun so, als wäre der Wert über den gesamten Bereich $\Delta x$ konstant.

Wie man in der Abbildung oben sieht, ist der Fehler vertretbar und umso kleiner, je kleiner das Intervall $\Delta x$ ist. Die Wahrscheinlichkeit $w(x)$ entspricht so der Fläche des Rechtecks.

Für den Bereich von x = 0 bis x = L muss für die Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten (s.o.) gelten:

$\sum_{x=0} ^{x=L}\, \psi^{2}(x) \cdot \Delta x=1$ mit $\psi^{2}(x)=\psi_{0}^{2} \cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}\right)$ (für $n=1$ )

Für Intervalle $\Delta x \rightarrow 0$ wird aus der Summe ein Integral.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit entspricht der gesamten Fläche unter der $|\psi(x)|^{2}$ -Funktion:

$\int\limits_{0}^L$ $\psi_{0}^{2} \cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}\right)dx=1$ bzw. $\psi_{0}^{2} \int\limits_{0}^L$ $sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}\right)dx=1$

Die Lösung dieses Integrals lässt sich in einer Formelsammlung nachschlagen. Das Ergebnis ergibt den Normierungsfaktor (die Amplitude)

$\psi_{0}^{2}=\dfrac {2}{L}$ und damit $\psi_{0}=\sqrt {\dfrac {2}{L}}$

Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit diesem Normierungsfaktor lautet die Wellenfunktion, die eine Lösung der Schrödingergleichung darstellt

$\psi(x)=\sqrt {\dfrac {2}{L}}\cdot sin \left(\dfrac {\pi x}{L}n\right)$ mit n = 1, 2, 3, …

Damit ist

$|\psi(x)|^{2}\cdot \Delta x=\dfrac {2}{L} \cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}n\right)$ mit n = 1, 2, 3, …

Die Wahrscheinlichkeit $w(x)$ , das Elektron in einem Intervall $\Delta x$ zu finden, beträgt damit

$w(x)=|\psi(x)|^{2}\cdot \Delta x=\dfrac {2}{L}\cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}n\right)\cdot \Delta x$ mit n = 1, 2, 3, …

Für den Grundzustand ( $n=1$ ) gilt also:

$w(x)=\dfrac {2}{L}\cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}\right)\cdot \Delta x$

Um konkrete Werte für die Wahrscheinlichkeiten berechnen zu können, müssen wir Werte für die Länge $L$ und die Intervalle $\Delta x$ festlegen.

Wir wählen für $L=10^{-10}m$ , was in etwa dem Durchmesser eines Atoms entspricht und teilen diese Länge in 10 gleich große Intervalle $\Delta x$ ein. Damit ist $\Delta x=10^{-11}m$ .

Außerdem gilt: $x_{1}=0,5\cdot 10^{-11}m$ , $x_{2}=1,5\cdot 10^{-11}m$ usw.

Schrödingergleichung Wahrscheinlichkeiten

Wir tun dabei so, als ob die Wahrscheinlichkeitsdichte über den Bereich $\Delta x$ konstant sei und ordnen jedem Intervall jeweils den Mittelwert zwischen den Grenzen des Intervalls zu.

Nun lässt sich für jedes Intervall die Wahrscheinlichkeit berechnen, ein Elektron in diesem Bereich anzutreffen. Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion genügt es, die Wahrscheinlichkeiten für die ersten 5 Intervalle $\Delta x$ (linke Hälfte) zu berechnen – die Werte in der rechten Hälfte sind identisch.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit $w(x)$ für das erste Intervall $\Delta x$ (mit $x_{1}=0,5\cdot 10^{-11}m)$ :

$w(0,5\cdot 10^{-11}m)=\dfrac {2}{L}\cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi\cdot 0,5\cdot 10^{-11}m}{10^{-10}m}\right)\cdot 10^{-11}m=0,00489$

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron im Bereich zwischen $x=0$ und $x=10^{-11}m$ anzutreffen beträgt 0,49 %.

Entsprechend lassen sich die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Intervalle berechnen. Die Ergebnisse für alle Intervalle sind in folgender Tabelle aufgeführt:

x in 10^-11 m	w (x)	w (x) in %
0,5	0,00489	0,49
1,5	0,04122	4,12
2,5	0,1	10,0
3,5	0,15878	15,88
4,5	0,19511	19,51
5,5	0,19511	19,51
6,5	0,15878	15,88
7,5	0,1	10,0
8,5	0,04122	4,12
9,5	0,00489	0,49
Summe	1	100

Die Teilwahrscheinlichkeiten $w(x)$ entsprechen jeweils der Fläche der Rechtecke.

Die Summe aller Teilwahrscheinlichkeiten entspricht der gesamten Fläche unter der Kurve bzw. der Gesamtwahrscheinlichkeit, ein Elektron im Bereich der Länge $L$ anzutreffen.

Die Gesamtwahrscheinlichkeit beträgt aufgrund der Normierungsbedingung (s.o.) 1 bzw. 100%.

Für die Intervalle $x_{1}$ bis $x_{5}$ in der linken Hälfte ergeben sich die gleich Werte wie für die Intervalle $x_{6}$ bis $x_{10}$ in der rechten Hälfte.

Angeregte Zustände

Für angeregte Zustände lassen sich die Berechnungen analog durchführen.

Für die Energiezustände gilt (s.o.):

$E=\dfrac {h^{2}}{8mL^{2}}\cdot n^{2}$

Man setzt darin einfach für n die entsprechende Quantenzahl ein und erhält die jeweiligen Energien. Die Berechnungen für n = 1 bis n = 3 haben wir bereits auf der Seite zum linearen Potentialtopf durchgeführt.

Für die Wahrscheinlichkeit gilt (s.o.):

$w(x)=\dfrac {2}{L}\cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi x}{L}n\right)\cdot \Delta x$ mit n = 1, 2, 3, …

Wahrscheinlichkeitsverteilung angeregter Zustand

Wahrscheinlichkeitsverteilung für den angeregten Zustand $n=2$

Bei gleichen Werten für die Länge ( $L=10^{-10}m$ ) und für die Intervalle ( $\Delta x=10^{-11}m$ ) erhält man für den ersten angeregten Zustand ( $n=2$ ):

Für $x_{1}=0,5\cdot 10^{-10}m$ :

$w(0,5\cdot 10^{-11}m)=\dfrac {2}{L}\cdot sin^{2}\left(\dfrac {\pi\cdot 0,5\cdot 10^{-11}m}{10^{-10}m}\cdot 2\right)\cdot 10^{-11}m=0,0191$

Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron in diesem Intervall zu finden, beträgt also etwa 1,9 %.

Entsprechend ergibt sich für

$x_{2}=1,5\cdot 10^{-10}m$ : $w(x)=0,1309$ also etwa 13,1 %

$x_{3}=2,5\cdot 10^{-10}m$ : $w(x)=0,2$ also 20 %

$x_{4}=3,5\cdot 10^{-10}m$ : $w(x)=0,1309$ also etwa 13,1 %

$x_{5}=4,5\cdot 10^{-10}m$ : $w(x)=0,0191$ also etwa 1,9 %

Aufgrund der Symmetrie der Wahrscheinlichkeitsverteilung ergeben sich für die rechte Seite ( $x_{6}$ bis $x_{10}$ ) die gleichen Werte.

Die Berechnungen bestätigen die Tatsache, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit zur Mitte abfällt (genau in der Mitte bei $x=L\, /\, 2$ ist sie null!).

Man könnte nun die Frage stellen, wie Elektronen vom linken in den rechten Bereich und umgekehrt gelangen können, wenn die Antreffwahrscheinlichkeit in der Mitte null ist (auch in realen Atomen existieren solche Knotenpunkte).

Doch diese Frage enthält bereits unsere klassische Vorstellung von der Bewegung von Teilchen. Diese Vorstellung entspricht offensichtlich nicht der physikalischen Realität.

Die gleiche Schwierigkeit hatten wir bereits beim Jönsson-Experiment (Doppelspalt-Experiment mit Elektronen) bei der Beschreibung der Bewegung von Elektronen durch den Doppelspalt.

Das Wasserstoffatom

Nun wollen wir noch ein Elektron betrachten, welches sich im positiven Potential eines Wasserstoffatoms befindet.

Die Übertragung der Erkenntnisse aus dem Modell des linearen Potentialtopfes auf das Wasserstoffatom haben wir bereits auf der vorherigen Seite qualitativ vorgenommen. Wir müssen unser Modell auf drei Dimensionen erweitern und außerdem das Potential des Atomkerns mit einbeziehen. Auch haben wir bereits gezeigt, inwieweit der positiv geladene Atomkern die Form der Wellenfunktion beeinflusst.

Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom

Wir wollen nun die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom aufstellen.

Im Gegensatz zum linearen Potentialtopf haben wir nun drei Raumdimensionen, das bedeutet, die Psi-Funktion hängt nicht nur von $x$ ab, sondern auch von den Koordinaten $y$ und $z$ .

Außerdem befindet sich das Elektron im elektrischen Potential des Kerns. Die potentielle Energie ist also nicht null wie beim linearen Potentialtopf (Kastenpotential), sondern sie hängt vom Abstand $r$ zum Kern ab.

Für die potentielle Energie in Abhängigkeit vom Abstand r gilt:

$E_{pot}=-\dfrac {e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}$ also $E_{pot}\, \sim \, \dfrac {1}{r}$

Daraus ergibt sich das sog. Coulomb-Potential:

Coulombpotential - Kastenpotential

Coulomb-Potential im Wasserstoffatom Kastenpotential im Potentialtopfmodell

Damit lautet die Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom

$-\dfrac {\hbar ^{2}}{2m}\left(\dfrac {\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}+\dfrac {\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}+\dfrac {\partial ^{2}\psi}{\partial z^{2}}\right)-\dfrac {1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac {e^{2}}{r}\psi=E \psi$

bzw. in der Schulschreibweise

$\psi''(x,y,z)+\dfrac {8\pi^{2}m_{e}}{h^{2}}\, \left(E+\dfrac {e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}\right)\, \psi(x,y,z)=0$

Dies mathematisch vollständig zu lösen, ist sehr aufwändig und sprengt den Rahmen der Schulphysik. Die Vorgehensweise soll hier nur kurz angedeutet werden, und wir wollen uns die Eigenschaften der Lösungen ansehen:

Da das Potential im Wasserstoffatom radialsymmetrisch ist (der Atomkern befindet sich im Zentrum), ist es üblich, Kugelkoordinaten zu verwenden. Dabei wird ein Punkt im dreidimensionalen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung $r$ und zwei Winkeln $\theta$ (Polarwinkel) und $\phi$ (Azimutwinkel) angegeben.

Dabei gilt für die Umrechnung in das karthesische Koordinatensystem:

$x=r\cdot sin\, \theta \cdot cos \, \phi$

$y=r\cdot sin\, \theta \cdot sin \, \phi$

$z=r\cdot cos \theta$

Die Lösungsfunktion $\psi(r, \phi, \theta)$ wird in das Produkt $\psi_{r}(r)\, \psi_{\theta}(\theta)\, \psi_{\phi}(\phi)$ zerlegt. Dann wird zunächst die vom Radius abhängigen Lösungsfunktion $\psi_{r}(r)$ bestimmt.

Für den Grundzustand (n = 1) des Wasserstoffatoms ergibt sich so schließlich als Lösungsfunktion

$\psi_{1}=\dfrac {1}{\sqrt{\pi a^{3}}}\, e^{-\frac {r}{a}} \approx 1,47 \cdot 10^{15}\, e^{-\frac {r}{5,29 \cdot 10^{-11}m}} m^{-\frac {3}{2}}$

Bemerkenswert ist, dass im Nenner des Exponenten auf der rechten Seite der Bohr’sche Radius auftaucht.

Auch die sich daraus ergebenen Energieniveaus stimmem mit der Bohr’schen Theorie überein.

Es gilt also: $E_{n}=-\dfrac {13,6\,eV}{n^{2}}$ mit $n=1,2,3,...$

Die Zahl $n$ ist die Hauptquantenzahl und damit dieselbe Quantenzahl wie in Bohrs Theorie und im Energieniveauschema.

Die Quantenmechanik sagt im Falle des Wasserstoffatoms dieselben Energieniveaus vorher wie die Bohr’sche Theorie.

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